Номер 140, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

140. Сравните:

а) $1,2^4$ и $1,5^4$;

б) $0,8^4$ и $0,7^4$;

в) $0,9^4$ и $1$;

г) $(-3,2)^4$ и $(-3,4)^4$;

д) $0,3^5$ и $0,8^5$;

е) $(-\frac{1}{3})^5$ и $(-\frac{1}{4})^5$.

а) Для сравнения чисел $1,2^4$ и $1,5^4$ воспользуемся свойством степенной функции $y=x^n$ с четным показателем. Показатель степени $n=4$ — четное положительное число. Для положительных оснований такая функция является возрастающей. Так как основания $1,2$ и $1,5$ положительны и $1,2 < 1,5$, то и значения степеней будут находиться в том же соотношении. Следовательно, $1,2^4 < 1,5^4$.
Ответ: $1,2^4 < 1,5^4$.

б) Сравниваем числа $0,8^4$ и $0,7^4$. Показатель степени $4$ — четное положительное число. Функция $y=x^4$ возрастает для всех $x > 0$. Основания $0,8$ и $0,7$ положительны, и так как $0,8 > 0,7$, то при возведении в четвертую степень знак неравенства сохранится. Таким образом, $0,8^4 > 0,7^4$.
Ответ: $0,8^4 > 0,7^4$.

в) Сравниваем числа $0,9^4$ и $1$. Число $1$ можно представить как $1^4$, так как $1$ в любой положительной степени равен $1$. Задача сводится к сравнению $0,9^4$ и $1^4$. Так как основание $0,9 < 1$, а показатель степени $4$ — положительное число, то при возведении в степень положительного числа, меньшего единицы, результат также будет меньше единицы. Следовательно, $0,9^4 < 1$.
Ответ: $0,9^4 < 1$.

г) Сравниваем числа $(-3,2)^4$ и $(-3,4)^4$. Так как показатель степени $4$ — четное число, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет положительным: $(-a)^n = a^n$ для четного $n$. Поэтому сравнение сводится к сравнению $3,2^4$ и $3,4^4$. Основания $3,2$ и $3,4$ положительны, и $3,2 < 3,4$. Функция $y=x^4$ является возрастающей для положительных значений аргумента, поэтому $3,2^4 < 3,4^4$. Значит, $(-3,2)^4 < (-3,4)^4$.
Ответ: $(-3,2)^4 < (-3,4)^4$.

д) Сравниваем числа $0,3^5$ и $0,8^5$. Показатель степени $5$ — нечетное положительное число. Степенная функция $y=x^5$ является возрастающей на всей числовой оси. Так как основание $0,3$ меньше основания $0,8$ ($0,3 < 0,8$), то и $0,3^5 < 0,8^5$.
Ответ: $0,3^5 < 0,8^5$.

е) Сравниваем числа $(-\frac{1}{3})^5$ и $(-\frac{1}{4})^5$. Показатель степени $5$ — нечетное положительное число. Функция $y=x^5$ является возрастающей для всех действительных чисел. Сначала сравним основания: $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $12$: $-\frac{1}{3} = -\frac{4}{12}$ и $-\frac{1}{4} = -\frac{3}{12}$. Так как $-4 < -3$, то $-\frac{4}{12} < -\frac{3}{12}$, следовательно, $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$. Поскольку функция $y=x^5$ возрастающая, знак неравенства при возведении в степень сохранится: $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{4})^5$.
Ответ: $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{4})^5$.