Номер 141, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

141. Сравните:

а) $5,7^3$ и $5,4^3$;

б) $(-4,1)^3$ и $(-4,2)^3$;

в) $0,8^3$ и $(-1,3)^3$;

г) $1,6^6$ и $1,8^6$;

д) $(-5,3)^6$ и $(-4,2)^6$;

е) $2,1^6$ и $3,1^6$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами степенных функций $y=x^n$.

• Если показатель степени $n$ — нечетное число, то функция $y=x^n$ является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что если $a > b$, то $a^n > b^n$. Знак основания сохраняется.
• Если показатель степени $n$ — четное число, то функция $y=x^n$ является возрастающей для положительных оснований ($x > 0$) и убывающей для отрицательных ($x < 0$). Результат возведения в четную степень всегда неотрицателен. Для сравнения чисел в четной степени удобнее сравнивать их модули: если $|a| > |b|$, то $a^n > b^n$.

а) Сравниваем числа $5,7^3$ и $5,4^3$.

Показатель степени $3$ является нечетным числом, поэтому функция $y = x^3$ является возрастающей. Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение степени.

Сравним основания степеней: $5,7 > 5,4$.

Следовательно, и их кубы будут находиться в том же соотношении: $5,7^3 > 5,4^3$.

Ответ: $5,7^3 > 5,4^3$.

б) Сравниваем числа $(-4,1)^3$ и $(-4,2)^3$.

Показатель степени $3$ — нечетное число, поэтому функция $y = x^3$ является возрастающей. Знак неравенства для оснований сохранится и для их степеней.

Сравним основания: $-4,1$ и $-4,2$. Так как на числовой оси $-4,1$ находится правее, чем $-4,2$, то $-4,1 > -4,2$.

Следовательно, $(-4,1)^3 > (-4,2)^3$.

Ответ: $(-4,1)^3 > (-4,2)^3$.

в) Сравниваем числа $0,8^3$ и $(-1,3)^3$.

При возведении в нечетную степень (в данном случае в куб) знак числа сохраняется.

Основание $0,8$ — положительное число, следовательно, $0,8^3$ будет положительным числом.

Основание $-1,3$ — отрицательное число, следовательно, $(-1,3)^3$ будет отрицательным числом.

Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $0,8^3 > (-1,3)^3$.

Ответ: $0,8^3 > (-1,3)^3$.

г) Сравниваем числа $1,6^6$ и $1,8^6$.

Показатель степени $6$ является четным числом. Оба основания, $1,6$ и $1,8$, являются положительными. Для положительных оснований функция $y = x^6$ является возрастающей.

Сравним основания: $1,6 < 1,8$.

Так как функция возрастает для положительных чисел, то $1,6^6 < 1,8^6$.

Ответ: $1,6^6 < 1,8^6$.

д) Сравниваем числа $(-5,3)^6$ и $(-4,2)^6$.

Показатель степени $6$ — четное число. При возведении в четную степень любого ненулевого числа результат будет положительным. При этом чем больше модуль основания, тем больше будет результат.

Сравним модули оснований: $|-5,3| = 5,3$ и $|-4,2| = 4,2$.

Так как $5,3 > 4,2$, то и $|-5,3| > |-4,2|$.

Следовательно, $(-5,3)^6 > (-4,2)^6$. Можно рассуждать и иначе: $(-5,3)^6 = 5,3^6$ и $(-4,2)^6 = 4,2^6$. Сравнивая $5,3^6$ и $4,2^6$, получаем тот же результат, так как $5,3>4,2$.

Ответ: $(-5,3)^6 > (-4,2)^6$.

е) Сравниваем числа $2,1^6$ и $3,1^6$.

Показатель степени $6$ — четное число. Оба основания положительны. Для положительных оснований, чем больше основание, тем больше результат при возведении в положительную степень.

Сравним основания: $2,1 < 3,1$.

Следовательно, $2,1^6 < 3,1^6$.

Ответ: $2,1^6 < 3,1^6$.