Страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

141. Сравните:

а) $5,7^3$ и $5,4^3$;

б) $(-4,1)^3$ и $(-4,2)^3$;

в) $0,8^3$ и $(-1,3)^3$;

г) $1,6^6$ и $1,8^6$;

д) $(-5,3)^6$ и $(-4,2)^6$;

е) $2,1^6$ и $3,1^6$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами степенных функций $y=x^n$.

• Если показатель степени $n$ — нечетное число, то функция $y=x^n$ является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что если $a > b$, то $a^n > b^n$. Знак основания сохраняется.
• Если показатель степени $n$ — четное число, то функция $y=x^n$ является возрастающей для положительных оснований ($x > 0$) и убывающей для отрицательных ($x < 0$). Результат возведения в четную степень всегда неотрицателен. Для сравнения чисел в четной степени удобнее сравнивать их модули: если $|a| > |b|$, то $a^n > b^n$.

а) Сравниваем числа $5,7^3$ и $5,4^3$.

Показатель степени $3$ является нечетным числом, поэтому функция $y = x^3$ является возрастающей. Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение степени.

Сравним основания степеней: $5,7 > 5,4$.

Следовательно, и их кубы будут находиться в том же соотношении: $5,7^3 > 5,4^3$.

Ответ: $5,7^3 > 5,4^3$.

б) Сравниваем числа $(-4,1)^3$ и $(-4,2)^3$.

Показатель степени $3$ — нечетное число, поэтому функция $y = x^3$ является возрастающей. Знак неравенства для оснований сохранится и для их степеней.

Сравним основания: $-4,1$ и $-4,2$. Так как на числовой оси $-4,1$ находится правее, чем $-4,2$, то $-4,1 > -4,2$.

Следовательно, $(-4,1)^3 > (-4,2)^3$.

Ответ: $(-4,1)^3 > (-4,2)^3$.

в) Сравниваем числа $0,8^3$ и $(-1,3)^3$.

При возведении в нечетную степень (в данном случае в куб) знак числа сохраняется.

Основание $0,8$ — положительное число, следовательно, $0,8^3$ будет положительным числом.

Основание $-1,3$ — отрицательное число, следовательно, $(-1,3)^3$ будет отрицательным числом.

Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $0,8^3 > (-1,3)^3$.

Ответ: $0,8^3 > (-1,3)^3$.

г) Сравниваем числа $1,6^6$ и $1,8^6$.

Показатель степени $6$ является четным числом. Оба основания, $1,6$ и $1,8$, являются положительными. Для положительных оснований функция $y = x^6$ является возрастающей.

Сравним основания: $1,6 < 1,8$.

Так как функция возрастает для положительных чисел, то $1,6^6 < 1,8^6$.

Ответ: $1,6^6 < 1,8^6$.

д) Сравниваем числа $(-5,3)^6$ и $(-4,2)^6$.

Показатель степени $6$ — четное число. При возведении в четную степень любого ненулевого числа результат будет положительным. При этом чем больше модуль основания, тем больше будет результат.

Сравним модули оснований: $|-5,3| = 5,3$ и $|-4,2| = 4,2$.

Так как $5,3 > 4,2$, то и $|-5,3| > |-4,2|$.

Следовательно, $(-5,3)^6 > (-4,2)^6$. Можно рассуждать и иначе: $(-5,3)^6 = 5,3^6$ и $(-4,2)^6 = 4,2^6$. Сравнивая $5,3^6$ и $4,2^6$, получаем тот же результат, так как $5,3>4,2$.

Ответ: $(-5,3)^6 > (-4,2)^6$.

е) Сравниваем числа $2,1^6$ и $3,1^6$.

Показатель степени $6$ — четное число. Оба основания положительны. Для положительных оснований, чем больше основание, тем больше результат при возведении в положительную степень.

Сравним основания: $2,1 < 3,1$.

Следовательно, $2,1^6 < 3,1^6$.

Ответ: $2,1^6 < 3,1^6$.

142. Проходит ли график функции $y = x^5$ через точку $A(3; 243)$? $B(-3; 243)$? $C(5; 3125)$?

Для того чтобы проверить, проходит ли график функции через определённую точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если в результате получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

Уравнение функции: $y = x^5$.

A(3; 243)?

Подставим координаты точки $A$, где $x = 3$ и $y = 243$, в уравнение функции:

$243 = 3^5$

Вычислим значение $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Получили верное равенство $243 = 243$. Следовательно, график функции проходит через точку $A(3; 243)$.

Ответ: да, проходит.

B(-3; 243)?

Подставим координаты точки $B$, где $x = -3$ и $y = 243$, в уравнение функции:

$243 = (-3)^5$

Вычислим значение $(-3)^5$. Так как степень нечётная, результат будет отрицательным:

$(-3)^5 = (-1)^5 \cdot 3^5 = -1 \cdot 243 = -243$.

Получили неверное равенство $243 \ne -243$. Следовательно, график функции не проходит через точку $B(-3; 243)$.

Ответ: нет, не проходит.

C(5; 3125)?

Подставим координаты точки $C$, где $x = 5$ и $y = 3125$, в уравнение функции:

$3125 = 5^5$

Вычислим значение $5^5$:

$5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 \cdot 5 = 625 \cdot 5 = 3125$.

Получили верное равенство $3125 = 3125$. Следовательно, график функции проходит через точку $C(5; 3125)$.

Ответ: да, проходит.

143. Принадлежит ли графику функции $y = x^7$ точка $A(2; 128)$?
$B(-2; -128)$? $C(-3; 2187)$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = x^7$. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

A(2; 128)
Подставим координаты $x = 2$ и $y = 128$ в уравнение функции:
$128 = 2^7$
Вычислим значение $2^7$:
$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$
Получили верное равенство: $128 = 128$.
Следовательно, точка A(2; 128) принадлежит графику функции $y = x^7$.
Ответ: да, принадлежит.

B(-2; -128)
Подставим координаты $x = -2$ и $y = -128$ в уравнение функции:
$-128 = (-2)^7$
Вычислим значение $(-2)^7$. Так как показатель степени (7) — нечетное число, результат будет отрицательным:
$(-2)^7 = -(2^7) = -128$
Получили верное равенство: $-128 = -128$.
Следовательно, точка B(-2; -128) принадлежит графику функции $y = x^7$.
Ответ: да, принадлежит.

C(-3; 2187)
Подставим координаты $x = -3$ и $y = 2187$ в уравнение функции:
$2187 = (-3)^7$
Вычислим значение $(-3)^7$. Так как показатель степени (7) — нечетное число, результат будет отрицательным:
$(-3)^7 = -(3^7) = -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -2187$
Получили равенство: $2187 = -2187$, которое является неверным.
Следовательно, точка C(-3; 2187) не принадлежит графику функции $y = x^7$.
Ответ: нет, не принадлежит.

144. Используя калькулятор, найдите с точностью до 0,01 значение функции $y = x^5$ при:

а) $x = 0,72$;

б) $x = 2,6$;

в) $x = -3,4$.

а) Для нахождения значения функции $y = x^5$ при $x = 0,72$, необходимо возвести 0,72 в пятую степень.
$y = (0,72)^5 = 0,72 \cdot 0,72 \cdot 0,72 \cdot 0,72 \cdot 0,72$
С помощью калькулятора вычисляем точное значение:
$y = 0,1934917632$
Теперь необходимо округлить полученный результат с точностью до 0,01, то есть до двух знаков после запятой. Смотрим на третью цифру после запятой - это 3. Так как $3 < 5$, то предыдущую цифру (9) оставляем без изменений.
$y \approx 0,19$
Ответ: $0,19$.

б) Для нахождения значения функции $y = x^5$ при $x = 2,6$, необходимо возвести 2,6 в пятую степень.
$y = (2,6)^5 = 2,6 \cdot 2,6 \cdot 2,6 \cdot 2,6 \cdot 2,6$
С помощью калькулятора вычисляем точное значение:
$y = 118,81376$
Теперь необходимо округлить полученный результат с точностью до 0,01. Смотрим на третью цифру после запятой - это 3. Так как $3 < 5$, то предыдущую цифру (1) оставляем без изменений.
$y \approx 118,81$
Ответ: $118,81$.

в) Для нахождения значения функции $y = x^5$ при $x = -3,4$, необходимо возвести -3,4 в пятую степень. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным.
$y = (-3,4)^5 = - (3,4)^5$
С помощью калькулятора вычисляем точное значение:
$y = -454,35424$
Теперь необходимо округлить полученный результат с точностью до 0,01. Смотрим на третью цифру после запятой - это 4. Так как $4 < 5$, то предыдущую цифру (5) оставляем без изменений.
$y \approx -454,35$
Ответ: $-454,35$.

145. Изобразите схематически график функции:

а) $y = x^6$;

б) $y = x^7$;

В) $y = x^8$;

Г) $y = x^9$.

Для построения схематических графиков степенных функций вида $y = x^n$ необходимо проанализировать их основные свойства, которые зависят от четности показателя степени $n$.

Рассмотрим функцию $y=x^6$. Это степенная функция с натуральным показателем $n=6$. Поскольку показатель степени — четное число, функция является четной ($y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$), и ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), а область значений — неотрицательные числа ($E(y) = [0; +\infty)$), так как любое число в четной степени неотрицательно. График проходит через ключевые точки: $(0, 0)$, которая является точкой минимума, а также через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$ и возрастает при $x \in [0, +\infty)$. Схематически график представляет собой U-образную кривую, расположенную в I и II координатных четвертях. По сравнению с параболой $y=x^2$, эта кривая более плоская вблизи начала координат (в интервале $(-1, 1)$) и растет круче при $|x|>1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^6$ — это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной (точкой минимума) в начале координат $(0,0)$. Ветви направлены вверх, график проходит через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Рассмотрим функцию $y=x^7$. Это степенная функция с натуральным показателем $n=7$. Поскольку показатель степени — нечетное число, функция является нечетной ($y(-x) = (-x)^7 = -x^7 = -y(x)$), и ее график симметричен относительно начала координат $(0,0)$. Область определения и область значений — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$). График проходит через ключевые точки: $(0, 0)$, которая является точкой перегиба, а также через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$. Функция монотонно возрастает на всей своей области определения. Схематически график представляет собой кривую, похожую на кубическую параболу $y=x^3$, расположенную в I и III координатных четвертях. Вблизи начала координат (в интервале $(-1, 1)$) кривая более плоская и прижата к оси Ox, а при $|x|>1$ она уходит в бесконечность круче, чем $y=x^3$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^7$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График расположен в I и III координатных четвертях и является монотонно возрастающим.

Рассмотрим функцию $y=x^8$. Это степенная функция с четным показателем $n=8$, поэтому ее свойства аналогичны свойствам функции $y=x^6$. Функция является четной ($y(-x) = (-x)^8 = x^8 = y(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = [0; +\infty)$. График проходит через точки $(0, 0)$ (минимум), $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Схематически график — это U-образная кривая в I и II четвертях. По сравнению с графиком $y=x^6$, график $y=x^8$ еще более плоский в интервале $(-1, 1)$ и еще круче устремляется вверх при $|x|>1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^8$ — это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0,0)$. Ветви направлены вверх. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и является более "плоским" у дна и "крутым" на ветвях по сравнению с $y=x^6$.

Рассмотрим функцию $y=x^9$. Это степенная функция с нечетным показателем $n=9$, поэтому ее свойства аналогичны свойствам функции $y=x^7$. Функция является нечетной ($y(-x) = (-x)^9 = -x^9 = -y(x)$), ее график симметричен относительно начала координат. Область определения и область значений — все действительные числа. График проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ (точка перегиба) и $(1, 1)$. Функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Схематически график — это кривая в I и III четвертях, похожая на $y=x^7$. По сравнению с $y=x^7$, график $y=x^9$ еще более плоский в интервале $(-1, 1)$ и еще круче уходит в бесконечность при $|x|>1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^9$ — это монотонно возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат. График расположен в I и III координатных четвертях и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. По сравнению с $y=x^7$, кривая более "сплюснута" к оси Ox на интервале $(-1, 1)$ и растет быстрее при $|x|>1$.

146. В каких координатных четвертях расположен график функции:

а) $y = x^{40}$;

б) $y = x^{123}$?

а) Для функции $y = x^{40}$ показатель степени $n=40$ является четным числом. Свойство степенной функции с натуральным четным показателем заключается в том, что она принимает неотрицательные значения при любых значениях аргумента $x$.
• Если $x > 0$, то $y = x^{40}$ также будет больше нуля ($y > 0$). Точки с положительными координатами $x$ и $y$ находятся в I координатной четверти.
• Если $x < 0$, то при возведении в четную степень результат будет положительным, то есть $y = x^{40} > 0$. Точки с отрицательной координатой $x$ и положительной координатой $y$ находятся во II координатной четверти.
• Если $x = 0$, то $y = 0$, то есть график проходит через начало координат.
Таким образом, график функции $y = x^{40}$ расположен в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

б) Для функции $y = x^{123}$ показатель степени $n=123$ является нечетным числом. Свойство степенной функции с натуральным нечетным показателем заключается в том, что знак функции совпадает со знаком аргумента.
• Если $x > 0$, то $y = x^{123}$ также будет больше нуля ($y > 0$). Точки с положительными координатами $x$ и $y$ находятся в I координатной четверти.
• Если $x < 0$, то при возведении в нечетную степень результат будет отрицательным, то есть $y = x^{123} < 0$. Точки с отрицательными координатами $x$ и $y$ находятся в III координатной четверти.
• Если $x = 0$, то $y = 0$, то есть график проходит через начало координат.
Таким образом, график функции $y = x^{123}$ расположен в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

147. Пользуясь рисунком 38 или 40, выясните, сколько решений имеет уравнение:

а) $x^{16} = 2;$
б) $x^{34} = 0;$
в) $x^8 = -3;$
г) $x^{21} = -7.$

Для определения количества решений уравнений вида $x^n = a$ используется анализ свойств степенной функции $y=x^n$ и ее графика. Количество решений равно количеству точек пересечения графика функции $y=x^n$ и горизонтальной прямой $y=a$.

а) $x^{16} = 2$

В данном уравнении показатель степени $n=16$ является четным числом, а правая часть $a=2$ — положительным числом. Функция $y=x^{16}$ является четной, ее график симметричен относительно оси ординат и расположен в верхней полуплоскости (область значений $[0; +\infty)$). Прямая $y=2$ — это горизонтальная линия, проходящая выше оси абсцисс. Так как $a > 0$, эта прямая пересечет график функции $y=x^{16}$ в двух точках, симметричных относительно оси $y$. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[16]{2}$ и $x_2 = -\sqrt[16]{2}$.

Ответ: 2 решения.

б) $x^{34} = 0$

Здесь показатель степени $n=34$ — четное число, а правая часть $a=0$. График функции $y=x^{34}$ касается оси абсцисс ($y=0$) в единственной точке — начале координат $(0,0)$. Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: 1 решение.

в) $x^8 = -3$

Показатель степени $n=8$ — четное число. Значение выражения $x^8$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^8 \ge 0$. Правая часть уравнения $a=-3$ — отрицательное число. Неравенство $x^8 = -3$ не может быть выполнено ни при каком действительном значении $x$. Графически, прямая $y=-3$ расположена ниже оси абсцисс и не имеет точек пересечения с графиком функции $y=x^8$, который целиком находится в верхней полуплоскости.

Ответ: нет решений.

г) $x^{21} = -7$

В этом уравнении показатель степени $n=21$ — нечетное число. Функция $y=x^{21}$ является нечетной, ее область значений — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого значения $a$ прямая $y=a$ пересечет график функции $y=x^{21}$ ровно в одной точке. В данном случае прямая $y=-7$ пересекает график в одной точке, абсцисса которой является единственным решением уравнения $x = \sqrt[21]{-7}$.

Ответ: 1 решение.

148. На рисунке 41 изображён график функции $y = x^4$. Найдите по графику значения $x$, при которых:

а) $y = 5$;

б) $y = 3,5$;

в) $y = 8$.

Рис. 41

Для нахождения значений $x$ по графику функции $y=x^4$ при заданных значениях $y$, необходимо провести горизонтальную прямую, соответствующую данному значению $y$, и найти абсциссы ($x$) точек пересечения этой прямой с графиком функции.

а) $y = 5$

Проведём горизонтальную прямую на уровне $y = 5$. Эта прямая пересекает график функции в двух точках. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось $Ox$, найдём соответствующие значения $x$. Для точки в первой координатной четверти получаем $x \approx 1,5$. В силу симметрии графика относительно оси $Oy$, для точки во второй четверти получаем $x \approx -1,5$.

Ответ: $x \approx -1,5; x \approx 1,5$.

б) $y = 3,5$

Проведём горизонтальную прямую на уровне $y = 3,5$. Эта прямая пересекает график в двух точках. Абсцисса точки пересечения в первой четверти находится между $1,3$ и $1,4$. Визуально она ближе к $1,4$, поэтому примем $x \approx 1,4$. Соответственно, вторая точка пересечения имеет абсциссу $x \approx -1,4$.

Ответ: $x \approx -1,4; x \approx 1,4$.

в) $y = 8$

Проведём горизонтальную прямую на уровне $y = 8$. Она пересекает график в двух точках. Абсцисса точки пересечения в первой четверти находится между $1,6$ и $1,7$. Визуально она очень близка к $1,7$, поэтому можно принять $x \approx 1,7$. Вторая точка пересечения будет иметь абсциссу $x \approx -1,7$ из-за симметрии графика.

Ответ: $x \approx -1,7; x \approx 1,7$.

149. Пользуясь графиком (см. рис. 41), решите уравнение:

а) $x^4 = 6$;

б) $x^4 = 8,5$.

$y = x^4$

Рис. 41

а) $x^4 = 6$
Для того чтобы решить уравнение $x^4 = 6$ графически, необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 6$. Найдём на оси ординат ($y$) значение 6 и проведём через него горизонтальную прямую. Эта прямая пересекает график $y = x^4$ в двух точках, поскольку функция является чётной и её график симметричен относительно оси $y$. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось абсцисс ($x$), определим их приближённые координаты. Положительный корень находится между значениями $x=1,5$ и $x=1,6$. По графику можно оценить его значение как $x_1 \approx 1,55$. Второй корень, в силу симметрии, будет равен $x_2 \approx -1,55$.
Ответ: $x_1 \approx 1,55$, $x_2 \approx -1,55$.

б) $x^4 = 8,5$
Решение уравнения $x^4 = 8,5$ графическим способом заключается в нахождении абсцисс точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 8,5$. На оси $y$ находим значение $8,5$ (это соответствует середине отрезка между отметками 8 и 9) и проводим горизонтальную прямую. Данная прямая пересекает график функции в двух точках. Проекции этих точек на ось $x$ дают искомые решения. Точка пересечения в первой координатной четверти имеет абсциссу, расположенную примерно посередине между отметками $1,6$ и $1,8$. Таким образом, можно заключить, что $x_1 \approx 1,7$. Второй корень, в силу симметрии графика, будет равен $x_2 \approx -1,7$.
Ответ: $x_1 \approx 1,7$, $x_2 \approx -1,7$.

150. Решите графически уравнение:

а) $x^3 = 2;$

б) $x^3 = 4;$

в) $x^3 = -5.$

Для графического решения уравнений вида $x^3 = c$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = c$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

Сначала построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат и является симметричной относительно него. Составим таблицу значений для построения:

• при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$
• при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$
• при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$
• при $x = 1.5$, $y = (1.5)^3 = 3.375$
• при $x = -1.5$, $y = (-1.5)^3 = -3.375$

График функции $y = c$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, c)$ на оси ординат.

Теперь решим каждое уравнение.

а) $x^3 = 2$

В этом уравнении $c = 2$. Построим в одной системе координат график функции $y = x^3$ и прямую $y = 2$. Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет абсциссу между $1$ и $1.5$, так как $1^3 = 1$, а $(1.5)^3 = 3.375$. Точное значение решения — это кубический корень из двух.

Ответ: $x = \sqrt[3]{2}$.

б) $x^3 = 4$

Здесь $c = 4$. Построим в той же системе координат прямую $y = 4$. Эта прямая пересекает график функции $y = x^3$ в одной точке. Абсцисса этой точки является решением. По графику видно, что значение $x$ находится между $1.5$ и $2$, так как $(1.5)^3 = 3.375$, а $2^3 = 8$. Точное значение решения — это кубический корень из четырех.

Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$.

в) $x^3 = -5$

В данном случае $c = -5$. Построим прямую $y = -5$. Она пересекает кубическую параболу $y = x^3$ в одной точке в третьей четверти. Абсцисса этой точки — искомое решение. Из графика видно, что корень уравнения находится между $-2$ и $-1.5$, так как $(-2)^3 = -8$, а $(-1.5)^3 = -3.375$. Точное значение решения — это кубический корень из минус пяти.

Ответ: $x = \sqrt[3]{-5}$.

151. Укажите какое-нибудь значение аргумента, при котором значение функции $y = x^6$ больше, чем $2^6$; $10^6$; $10^{12}$; $10^{18}$.

Задача состоит в том, чтобы для функции $y = x^6$ найти значения аргумента $x$, при которых $y$ будет больше заданных чисел. Для этого нужно решить неравенство $x^6 > A$ для каждого из заданных значений $A$.

Общий метод решения таких неравенств:

1. Представим число $A$ в виде $b^6$ для некоторого $b > 0$. Неравенство примет вид $x^6 > b^6$.
2. Поскольку $x^6 = |x|^6$ и функция $f(t) = t^6$ является строго возрастающей для $t \ge 0$, неравенство $x^6 > b^6$ равносильно неравенству $|x| > b$.
3. Решением неравенства $|x| > b$ является объединение двух интервалов: $x > b$ или $x < -b$.

Теперь применим этот метод к каждому из случаев.

2⁶

Нам нужно найти такое значение $x$, что $x^6 > 2^6$. В этом случае $b=2$. Следовательно, решение неравенства: $|x| > 2$, что означает $x > 2$ или $x < -2$. В качестве примера можно выбрать любое число, удовлетворяющее этому условию, например, $x=3$.

Ответ: например, $x=3$.

10⁶

Нам нужно найти такое значение $x$, что $x^6 > 10^6$. В этом случае $b=10$. Решение: $|x| > 10$, что означает $x > 10$ или $x < -10$. В качестве примера можно выбрать $x=11$.

Ответ: например, $x=11$.

10¹²

Нам нужно найти такое значение $x$, что $x^6 > 10^{12}$. Сначала преобразуем правую часть: $10^{12} = (10^2)^6 = 100^6$. Неравенство принимает вид $x^6 > 100^6$. Здесь $b=100$. Решение: $|x| > 100$, что означает $x > 100$ или $x < -100$. В качестве примера можно выбрать $x=101$.

Ответ: например, $x=101$.

10¹⁸

Нам нужно найти такое значение $x$, что $x^6 > 10^{18}$. Преобразуем правую часть: $10^{18} = (10^3)^6 = 1000^6$. Неравенство принимает вид $x^6 > 1000^6$. Здесь $b=1000$. Решение: $|x| > 1000$, что означает $x > 1000$ или $x < -1000$. В качестве примера можно выбрать $x=1001$.

Ответ: например, $x=1001$.

152. Укажите какое-нибудь значение аргумента, при котором значение функции $y = x^5$ меньше, чем $-3^5$; $-10^5$; $-10^{20}$.

-3⁵
Требуется найти такое значение аргумента $x$, при котором значение функции $y = x^5$ будет меньше, чем $-3^5$. Составим неравенство:
$x^5 < -3^5$
Поскольку показатель степени 5 является нечетным числом, мы можем записать $-3^5$ как $(-3)^5$. Неравенство примет вид:
$x^5 < (-3)^5$
Функция $f(t) = t^5$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что если $a < b$, то $a^5 < b^5$, и наоборот, если $a^5 < b^5$, то $a < b$. Следовательно, из неравенства $x^5 < (-3)^5$ следует, что:
$x < -3$
В задаче просят указать какое-нибудь одно значение. Мы можем выбрать любое число, которое меньше -3. Например, $x = -4$.
Проверим: $(-4)^5 = -1024$, а $-3^5 = -243$. Неравенство $-1024 < -243$ является верным.
Ответ: например, $x = -4$.

-10⁵
Аналогично предыдущему пункту, составим и решим неравенство:
$x^5 < -10^5$
Перепишем правую часть:
$x^5 < (-10)^5$
Так как функция возведения в пятую степень является возрастающей, мы можем сравнить основания степеней:
$x < -10$
Выберем любое значение $x$, удовлетворяющее этому условию, например, $x = -11$.
Ответ: например, $x = -11$.

-10²⁰
Составим неравенство для этого случая:
$x^5 < -10^{20}$
Чтобы сравнить основания, представим правую часть неравенства в виде числа в пятой степени. Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$-10^{20} = -10^{4 \cdot 5} = -(10^4)^5$
Поскольку степень нечетная, знак минус можно внести в основание:
$-(10^4)^5 = (-10^4)^5$
Теперь неравенство имеет вид:
$x^5 < (-10^4)^5$
Сравнивая основания, получаем:
$x < -10^4$
Так как $10^4 = 10000$, условие выглядит так: $x < -10000$.
Выберем любое значение, удовлетворяющее этому условию, например, $x = -20000$.
Ответ: например, $x = -20000$.