Страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

164. Принадлежит ли графику функции $y = \sqrt[4]{x}$ точка $E(81; 3)$? $F(81; -3)$? $K(-16; -2)$? $L(0,0001; 0,1)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = \sqrt[4]{x}$, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если получается верное равенство $y_0 = \sqrt[4]{x_0}$, то точка принадлежит графику.

E(81; 3)
Подставляем координаты точки E, где $x = 81$ и $y = 3$, в уравнение функции: $3 = \sqrt[4]{81}$
Проверяем равенство. Нам нужно найти число, которое при возведении в 4-ю степень даст 81. Это число 3, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Равенство $3 = 3$ верно.
Следовательно, точка E(81; 3) принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

F(81; -3)
Подставляем координаты точки F, где $x = 81$ и $y = -3$, в уравнение функции: $-3 = \sqrt[4]{81}$
Как мы уже выяснили, $\sqrt[4]{81} = 3$.
Равенство $-3 = 3$ неверно.
Кроме того, по определению арифметического корня четной степени, его значение не может быть отрицательным ($y = \sqrt[4]{x} \ge 0$). Так как ордината точки F равна -3, она не может принадлежать графику данной функции.
Следовательно, точка F(81; -3) не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

K(-16; -2)
Подставляем координаты точки K, где $x = -16$ и $y = -2$, в уравнение функции: $-2 = \sqrt[4]{-16}$
Область определения функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это множество неотрицательных чисел, так как в области действительных чисел нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа. Абсцисса точки K, $x = -16$, является отрицательным числом и не входит в область определения функции.
Следовательно, точка K(-16; -2) не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

L(0,0001; 0,1)
Подставляем координаты точки L, где $x = 0,0001$ и $y = 0,1$, в уравнение функции: $0,1 = \sqrt[4]{0,0001}$
Проверим равенство, возведя $0,1$ в четвертую степень: $0,1^4 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,0001$.
Равенство $0,1 = 0,1$ верно.
Следовательно, точка L(0,0001; 0,1) принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

165. Принадлежит ли графику функции $y = \sqrt[3]{x}$ точка A(8; 2)? B(216; 6)? C(27; -3)? D(-125; -5)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты (x; y) в уравнение функции $y = \sqrt[3]{x}$. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

A(8; 2)
Подставляем координаты точки $A(8; 2)$ в уравнение функции. При $x = 8$, $y$ должен быть равен 2.
$y = \sqrt[3]{8}$
$y = 2$
Поскольку вычисленное значение $y=2$ совпадает с ординатой точки А, равенство $2 = 2$ является верным. Значит, точка A(8; 2) принадлежит графику функции.
Ответ: Да, принадлежит.

B(216; 6)
Подставляем координаты точки $B(216; 6)$ в уравнение. При $x = 216$, $y$ должен быть равен 6.
$y = \sqrt[3]{216}$
Для проверки найдем куб числа 6: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$. Следовательно, $\sqrt[3]{216} = 6$.
Равенство $6 = 6$ является верным. Значит, точка B(216; 6) принадлежит графику функции.
Ответ: Да, принадлежит.

C(27; -3)
Подставляем координаты точки $C(27; -3)$ в уравнение. При $x = 27$, $y$ должен быть равен -3.
$y = \sqrt[3]{27}$
$y = 3$
Вычисленное значение $y=3$ не совпадает с ординатой точки C, которая равна -3. Равенство $-3 = 3$ является неверным. Значит, точка C(27; -3) не принадлежит графику функции.
Ответ: Нет, не принадлежит.

D(-125; -5)
Подставляем координаты точки $D(-125; -5)$ в уравнение. При $x = -125$, $y$ должен быть равен -5.
$y = \sqrt[3]{-125}$
Для проверки найдем куб числа -5: $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$. Следовательно, $\sqrt[3]{-125} = -5$.
Равенство $-5 = -5$ является верным. Значит, точка D(-125; -5) принадлежит графику функции.
Ответ: Да, принадлежит.

166. Укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:

а) $\sqrt[3]{3,5}$;

б) $\sqrt[3]{20}$;

в) $\sqrt[4]{9}$;

г) $\sqrt[4]{52}$.

a) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{3,5}$, нужно найти такие последовательные целые числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{3,5} < n+1$. Для этого сравним подкоренное выражение с кубами целых чисел.
Возведем целые числа в третью степень:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Поскольку $1 < 3,5 < 8$, то мы можем записать неравенство $1^3 < 3,5 < 2^3$.
Извлекая кубический корень из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{3,5} < \sqrt[3]{8}$
$1 < \sqrt[3]{3,5} < 2$
Таким образом, число $\sqrt[3]{3,5}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

б) Для числа $\sqrt[3]{20}$ ищем последовательные целые числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt[3]{20} < n+1$. Сравним число 20 с кубами целых чисел.
Возведем целые числа в третью степень:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Поскольку $8 < 20 < 27$, то справедливо неравенство $2^3 < 20 < 3^3$.
Извлекая кубический корень из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{20} < \sqrt[3]{27}$
$2 < \sqrt[3]{20} < 3$
Таким образом, число $\sqrt[3]{20}$ заключено между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

в) Для числа $\sqrt[4]{9}$ ищем последовательные целые числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt[4]{9} < n+1$. Сравним число 9 с четвертыми степенями целых чисел.
Возведем целые числа в четвертую степень:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
Поскольку $1 < 9 < 16$, то справедливо неравенство $1^4 < 9 < 2^4$.
Извлекая корень четвертой степени из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{9} < \sqrt[4]{16}$
$1 < \sqrt[4]{9} < 2$
Таким образом, число $\sqrt[4]{9}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

г) Для числа $\sqrt[4]{52}$ ищем последовательные целые числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt[4]{52} < n+1$. Сравним число 52 с четвертыми степенями целых чисел.
Возведем целые числа в четвертую степень:
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
Поскольку $16 < 52 < 81$, то справедливо неравенство $2^4 < 52 < 3^4$.
Извлекая корень четвертой степени из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{52} < \sqrt[4]{81}$
$2 < \sqrt[4]{52} < 3$
Таким образом, число $\sqrt[4]{52}$ заключено между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

167. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[3]{-8}$;

б) $\sqrt[7]{-0,28}$;

в) $\sqrt[4]{-5}$;

г) $\sqrt[5]{(-3)^3}$;

д) $\sqrt[8]{(-2)^3}$;

е) $\sqrt[10]{(-7)^2}$;

ж) $\sqrt[6]{(-5)^3}$;

з) $\sqrt[11]{(-3)^4}$;

и) $\sqrt[12]{(-8)^4}$.

Чтобы определить, имеет ли смысл (определено ли в множестве действительных чисел) выражение вида $\sqrt[n]{a}$, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и знак подкоренного выражения $a$.

• Если показатель корня $n$ является нечетным числом ($n = 3, 5, 7, \dots$), то корень можно извлекать из любого действительного числа $a$, как положительного, так и отрицательного.
• Если показатель корня $n$ является четным числом ($n = 2, 4, 6, \dots$), то корень можно извлекать только из неотрицательного числа ($a \ge 0$).

а) $\sqrt[3]{-8}$

Показатель корня $n=3$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=-8$. Так как показатель корня нечетный, выражение имеет смысл для любого действительного $a$.

Ответ: да.

б) $\sqrt[7]{-0,28}$

Показатель корня $n=7$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=-0,28$. Так как показатель корня нечетный, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

в) $\sqrt[4]{-5}$

Показатель корня $n=4$ — четное число. Подкоренное выражение $a=-5$ — отрицательное число. Корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не определен. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

г) $\sqrt[5]{(-3)^3}$

Сначала вычислим подкоренное выражение: $(-3)^3 = -27$. Выражение принимает вид $\sqrt[5]{-27}$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число. Подкоренное выражение отрицательное. Так как показатель нечетный, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

д) $\sqrt[8]{(-2)^3}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-2)^3 = -8$. Выражение принимает вид $\sqrt[8]{-8}$. Показатель корня $n=8$ — четное число. Подкоренное выражение $a=-8$ — отрицательное. Так как показатель четный, а подкоренное выражение отрицательное, выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

е) $\sqrt[10]{(-7)^2}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-7)^2 = 49$. Выражение принимает вид $\sqrt[10]{49}$. Показатель корня $n=10$ — четное число. Подкоренное выражение $a=49$ — положительное. Так как показатель четный и подкоренное выражение неотрицательное, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

ж) $\sqrt[6]{(-5)^3}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-5)^3 = -125$. Выражение принимает вид $\sqrt[6]{-125}$. Показатель корня $n=6$ — четное число. Подкоренное выражение $a=-125$ — отрицательное. Выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

з) $\sqrt[11]{(-3)^4}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-3)^4 = 81$. Выражение принимает вид $\sqrt[11]{81}$. Показатель корня $n=11$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=81$. Так как показатель нечетный, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

и) $\sqrt[12]{(-8)^4}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-8)^4 = 4096$. Выражение принимает вид $\sqrt[12]{4096}$. Показатель корня $n=12$ — четное число. Подкоренное выражение $a=4096$ — положительное. Так как показатель четный и подкоренное выражение неотрицательное, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

168. Найдите значение выражения:

а) $ \sqrt[5]{-32}; $

б) $ \sqrt[7]{-1}; $

в) $ -2\sqrt[4]{81}; $

г) $ -4\sqrt[3]{27}; $

д) $ \sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8}; $

е) $ \sqrt[4]{625} - \sqrt[3]{-125}. $

а) $\sqrt[5]{-32}$

Корень нечетной степени (в данном случае 5) из отрицательного числа существует и является отрицательным числом. Нам необходимо найти число, которое при возведении в пятую степень даст -32. Таким числом является -2, поскольку $(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32$.

$\sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^5} = -2$.

Ответ: $-2$

б) $\sqrt[7]{-1}$

Нужно найти число, которое при возведении в седьмую степень равно -1. Так как степень нечетная, корень из отрицательного числа существует. Число -1 в любой нечетной степени равно -1.

$(-1)^7 = -1$, следовательно $\sqrt[7]{-1} = -1$.

Ответ: $-1$

в) $-2\sqrt[4]{81}$

Сначала вычислим значение корня. Корень четвертой степени из 81 — это такое положительное число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Таким числом является 3, поскольку $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.

Теперь умножим полученный результат на -2:

$-2 \times \sqrt[4]{81} = -2 \times 3 = -6$.

Ответ: $-6$

г) $-4\sqrt[3]{27}$

Сначала вычислим значение кубического корня из 27. Это число, которое при возведении в третью степень дает 27. Таким числом является 3, поскольку $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.

Теперь умножим полученный результат на -4:

$-4 \times \sqrt[3]{27} = -4 \times 3 = -12$.

Ответ: $-12$

д) $\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8}$

Вычислим значение каждого корня по отдельности.

Корень пятой степени из 32: нужно найти число, которое в пятой степени дает 32. Это число 2, так как $2^5 = 32$. Значит, $\sqrt[5]{32} = 2$.

Корень третьей степени из -8: нужно найти число, которое в третьей степени дает -8. Это число -2, так как $(-2)^3 = -8$. Значит, $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Теперь сложим полученные значения:

$2 + (-2) = 2 - 2 = 0$.

Ответ: $0$

е) $\sqrt[4]{625} - \sqrt[3]{-125}$

Вычислим значение каждого корня по отдельности.

Корень четвертой степени из 625: нужно найти положительное число, которое в четвертой степени дает 625. Это число 5, так как $5^4 = 625$. Значит, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Корень третьей степени из -125: нужно найти число, которое в третьей степени дает -125. Это число -5, так как $(-5)^3 = -125$. Значит, $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Теперь выполним вычитание:

$5 - (-5) = 5 + 5 = 10$.

Ответ: $10$

169. Выразите корень n-й степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени:

а) $ \sqrt[3]{-31}; $

б) $ \sqrt[5]{-17}; $

в) $ \sqrt[11]{-2}; $

г) $ \sqrt[17]{-6}. $

Для того чтобы выразить корень n-й степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени, используется свойство корня нечетной степени. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.

Общее правило для любого нечетного натурального числа $n$ и любого положительного числа $a$ выглядит так:

$ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $

В этой формуле $ \sqrt[n]{-a} $ — это корень из отрицательного числа, а $ \sqrt[n]{a} $ — это арифметический корень n-й степени из положительного числа $a$. Во всех представленных задачах показатель корня является нечетным числом.

а)

В выражении $ \sqrt[3]{-31} $ показатель степени $ n=3 $ является нечетным числом. Пользуясь правилом, выносим знак минус из-под корня:

$ \sqrt[3]{-31} = -\sqrt[3]{31} $

Ответ: $ -\sqrt[3]{31} $

б)

В выражении $ \sqrt[5]{-17} $ показатель степени $ n=5 $ является нечетным числом. Выносим знак минус из-под знака корня:

$ \sqrt[5]{-17} = -\sqrt[5]{17} $

Ответ: $ -\sqrt[5]{17} $

в)

В выражении $ \sqrt[11]{-2} $ показатель степени $ n=11 $ является нечетным числом. Выносим знак минус из-под знака корня:

$ \sqrt[11]{-2} = -\sqrt[11]{2} $

Ответ: $ -\sqrt[11]{2} $

г)

В выражении $ \sqrt[17]{-6} $ показатель степени $ n=17 $ является нечетным числом. Выносим знак минус из-под знака корня:

$ \sqrt[17]{-6} = -\sqrt[17]{6} $

Ответ: $ -\sqrt[17]{6} $

170. Вычислите:

а) $-5\sqrt[3]{-125}$;

б) $\sqrt[6]{0}$;

в) $-5\sqrt[4]{16}$;

г) $-3\sqrt[3]{-64}$;

д) $3\sqrt[5]{(-1)^3}$;

е) $-8\sqrt{144}$.

а)

Требуется вычислить кубический корень из -125. По определению, корень n-ой степени из числа $a$ – это такое число $x$, которое при возведении в степень $n$ дает $a$, то есть $x^n=a$. В нашем случае $n=3$ и $a=-125$. Нам нужно найти число $x$, такое что $x^3 = -125$.

Мы знаем, что $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$. Поскольку показатель степени (3) нечетный, знак минус можно вынести за скобки: $(-5)^3 = -5^3 = -125$.

Таким образом, $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Ответ: $-5$

б)

Требуется вычислить корень шестой степени из 0. Нам нужно найти число $x$, такое что $x^6 = 0$.

Единственное число, которое при возведении в любую положительную степень равно нулю, – это само число 0. То есть $0^6 = 0$.

Следовательно, $\sqrt[6]{0} = 0$.

Ответ: $0$

в)

Требуется вычислить выражение $-5\sqrt[4]{16}$. Сначала найдем значение корня $\sqrt[4]{16}$.

Арифметический корень четвертой степени из неотрицательного числа – это такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень дает подкоренное число. Нам нужно найти неотрицательное число $x$, такое что $x^4 = 16$.

Мы знаем, что $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

Значит, $\sqrt[4]{16} = 2$.

Теперь умножим полученный результат на коэффициент -5:

$-5 \times 2 = -10$.

Ответ: $-10$

г)

Требуется вычислить выражение $-3\sqrt[3]{-64}$. Сначала найдем значение корня $\sqrt[3]{-64}$.

Нам нужно найти число $x$, такое что $x^3 = -64$.

Мы знаем, что $4^3 = 64$. Так как показатель степени нечетный, то $(-4)^3 = -4^3 = -64$.

Следовательно, $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Теперь умножим полученный результат на коэффициент -3:

$-3 \times (-4) = 12$.

Ответ: $12$

д)

Требуется вычислить выражение $3\sqrt[5]{(-1)^3}$. Сначала упростим выражение под корнем.

$(-1)^3 = -1$.

Теперь выражение принимает вид $3\sqrt[5]{-1}$.

Найдем корень пятой степени из -1. Нам нужно найти число $x$, такое что $x^5 = -1$. Так как показатель степени (5) нечетный, то $(-1)^5 = -1$.

Следовательно, $\sqrt[5]{-1} = -1$.

Теперь умножим результат на коэффициент 3:

$3 \times (-1) = -3$.

Ответ: $-3$

е)

Требуется вычислить выражение $-8\sqrt{144}$. Знак корня без указания показателя степени по умолчанию означает квадратный корень (показатель 2).

Найдем значение арифметического квадратного корня из 144. Нам нужно найти неотрицательное число $x$, такое что $x^2 = 144$.

Известно, что $12^2 = 144$.

Значит, $\sqrt{144} = 12$.

Теперь умножим полученный результат на коэффициент -8:

$-8 \times 12 = -96$.

Ответ: $-96$

171. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt{10})^2$;

б) $(\sqrt[3]{5})^3$;

в) $(-\sqrt[4]{12})^4$;

г) $(2\sqrt[5]{-2})^5$;

д) $(\sqrt[5]{-8})^5$;

е) $(-2\sqrt{3})^2$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $(\sqrt{10})^2$, необходимо воспользоваться определением квадратного корня. По определению, $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$. В данном случае $a=10$.
Следовательно, $(\sqrt{10})^2 = 10$.
Ответ: 10

б) Для вычисления $(\sqrt[3]{5})^3$ используется основное свойство корня n-ой степени, которое гласит, что $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В этом примере степень корня $n=3$ и подкоренное выражение $a=5$.
Таким образом, $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$.
Ответ: 5

в) Чтобы найти значение выражения $(-\sqrt[4]{12})^4$, используем свойство возведения в степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$. Также учтем, что любое отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат.
$(-\sqrt[4]{12})^4 = (-1 \cdot \sqrt[4]{12})^4 = (-1)^4 \cdot (\sqrt[4]{12})^4$.
Поскольку степень 4 является четной, $(-1)^4 = 1$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[4]{12})^4 = 12$.
Результат: $1 \cdot 12 = 12$.
Ответ: 12

г) Для нахождения значения $(2\sqrt[5]{-2})^5$ применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.
$(2\sqrt[5]{-2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[5]{-2})^5$.
Вычислим каждый множитель по отдельности:
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Это свойство выполняется для отрицательных чисел, если степень корня нечетная. Здесь $n=5$ (нечетное).
$(\sqrt[5]{-2})^5 = -2$.
Теперь перемножим полученные значения: $32 \cdot (-2) = -64$.
Ответ: -64

д) Для вычисления $(\sqrt[5]{-8})^5$ воспользуемся определением корня n-ой степени: $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Так как степень корня $n=5$ является нечетной, это свойство справедливо и для отрицательного подкоренного выражения $a=-8$.
Следовательно, $(\sqrt[5]{-8})^5 = -8$.
Ответ: -8

е) Чтобы найти значение выражения $(-2\sqrt{3})^2$, используем свойство возведения в степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(-2\sqrt{3})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{3})^2$.
Вычислим значение каждого множителя:
$(-2)^2 = 4$.
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Перемножим результаты: $4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12

172. Вычислите:

а) $\left(\sqrt[4]{7}\right)^4$;

б) $\left(\sqrt[7]{-3}\right)^7$;

в) $\left(2\sqrt[4]{3}\right)^4$;

г) $\left(-3\sqrt[3]{2}\right)^3$;

д) $\left(-\sqrt[7]{-28}\right)^7$;

е) $\left(3\sqrt[3]{8}\right)^3$.

а) По определению корня n-ой степени, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае $n=4$ и $a=7$.
$(\sqrt[4]{7})^4 = 7$.
Ответ: 7

б) По определению корня n-ой степени, для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n > 1$ выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае $n=7$ (нечетное) и $a=-3$.
$(\sqrt[7]{-3})^7 = -3$.
Ответ: -3

в) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и определение корня n-ой степени.
$(2\sqrt[4]{3})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt[4]{3})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48

г) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и определение корня n-ой степени.
$(-3\sqrt[3]{2})^3 = (-3)^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = -27 \cdot 2 = -54$.
Ответ: -54

д) Так как степень 7 нечетная, мы можем вынести минус за скобки, используя свойство $(-x)^n = -x^n$ для нечетных $n$. Затем применяем определение корня.
$(-\sqrt[7]{-28})^7 = (-1)^7 \cdot (\sqrt[7]{-28})^7 = -1 \cdot (-28) = 28$.
Ответ: 28

е) Можно решить двумя способами.
1. Сначала вычислить значение корня: $\sqrt[3]{8} = 2$. Затем подставить в выражение: $(3 \cdot 2)^3 = 6^3 = 216$.
2. Использовать свойство степени произведения: $(3\sqrt[3]{8})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt[3]{8})^3 = 27 \cdot 8 = 216$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 216

173. При каких значениях a верно равенство:

а) $\sqrt{a^2} = a;$

б) $\sqrt[4]{a^4} = -a;$

в) $\sqrt[3]{a^3} = a?$

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = a$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению $x$. Свойство корня четной степени от степени с тем же показателем для любого действительного числа $a$ выглядит так: $\sqrt{a^2} = |a|$. Результат извлечения арифметического квадратного корня всегда неотрицателен.

Таким образом, исходное равенство $\sqrt{a^2} = a$ можно переписать в виде $|a| = a$.

Это равенство верно тогда и только тогда, когда число $a$ является неотрицательным. Если $a \geq 0$, то $|a| = a$, и равенство выполняется. Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и равенство $|a| = a$ не выполняется.

Ответ: $a \geq 0$.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{a^4} = -a$.

Корень четной степени (в данном случае, 4-й) из выражения в той же степени равен модулю этого выражения: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Это следует из того, что результат извлечения корня четной степени из неотрицательного числа $a^4$ должен быть неотрицательным.

Подставим это в исходное равенство и получим: $|a| = -a$.

Проанализируем полученное равенство. По определению модуля, равенство $|a| = -a$ выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ является неположительным.
• Если $a > 0$, то $|a| = a$, и равенство принимает вид $a = -a$, что верно только при $a=0$, но это противоречит условию $a > 0$.
• Если $a = 0$, то $|0| = -0$, то есть $0 = 0$. Равенство верно.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и равенство принимает вид $-a = -a$, что является тождеством для всех $a < 0$.
Объединяя случаи, получаем, что равенство верно при $a \leq 0$.

Ответ: $a \leq 0$.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Корень нечетной степени (в данном случае, 3-й) из числа в той же степени всегда равен самому этому числу. В общем виде это свойство записывается как $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого действительного числа $a$. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени может быть отрицательным.

Таким образом, равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$ является тождеством и выполняется для любых действительных значений $a$, как положительных, так и отрицательных, а также для $a=0$.

Например, если $a=2$, то $\sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2$, и равенство $2=2$ верно. Если $a=-2$, то $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$, и равенство $-2=-2$ также верно.

Ответ: $a$ — любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).