Номер 169, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

169. Выразите корень n-й степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени:

а) $ \sqrt[3]{-31}; $

б) $ \sqrt[5]{-17}; $

в) $ \sqrt[11]{-2}; $

г) $ \sqrt[17]{-6}. $

Для того чтобы выразить корень n-й степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени, используется свойство корня нечетной степени. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.

Общее правило для любого нечетного натурального числа $n$ и любого положительного числа $a$ выглядит так:

$ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $

В этой формуле $ \sqrt[n]{-a} $ — это корень из отрицательного числа, а $ \sqrt[n]{a} $ — это арифметический корень n-й степени из положительного числа $a$. Во всех представленных задачах показатель корня является нечетным числом.

а)

В выражении $ \sqrt[3]{-31} $ показатель степени $ n=3 $ является нечетным числом. Пользуясь правилом, выносим знак минус из-под корня:

$ \sqrt[3]{-31} = -\sqrt[3]{31} $

Ответ: $ -\sqrt[3]{31} $

б)

В выражении $ \sqrt[5]{-17} $ показатель степени $ n=5 $ является нечетным числом. Выносим знак минус из-под знака корня:

$ \sqrt[5]{-17} = -\sqrt[5]{17} $

Ответ: $ -\sqrt[5]{17} $

в)

В выражении $ \sqrt[11]{-2} $ показатель степени $ n=11 $ является нечетным числом. Выносим знак минус из-под знака корня:

$ \sqrt[11]{-2} = -\sqrt[11]{2} $

Ответ: $ -\sqrt[11]{2} $

г)

В выражении $ \sqrt[17]{-6} $ показатель степени $ n=17 $ является нечетным числом. Выносим знак минус из-под знака корня:

$ \sqrt[17]{-6} = -\sqrt[17]{6} $

Ответ: $ -\sqrt[17]{6} $