Номер 166, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

166. Укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:

а) $\sqrt[3]{3,5}$;

б) $\sqrt[3]{20}$;

в) $\sqrt[4]{9}$;

г) $\sqrt[4]{52}$.

a) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{3,5}$, нужно найти такие последовательные целые числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{3,5} < n+1$. Для этого сравним подкоренное выражение с кубами целых чисел.
Возведем целые числа в третью степень:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Поскольку $1 < 3,5 < 8$, то мы можем записать неравенство $1^3 < 3,5 < 2^3$.
Извлекая кубический корень из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{3,5} < \sqrt[3]{8}$
$1 < \sqrt[3]{3,5} < 2$
Таким образом, число $\sqrt[3]{3,5}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

б) Для числа $\sqrt[3]{20}$ ищем последовательные целые числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt[3]{20} < n+1$. Сравним число 20 с кубами целых чисел.
Возведем целые числа в третью степень:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Поскольку $8 < 20 < 27$, то справедливо неравенство $2^3 < 20 < 3^3$.
Извлекая кубический корень из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{20} < \sqrt[3]{27}$
$2 < \sqrt[3]{20} < 3$
Таким образом, число $\sqrt[3]{20}$ заключено между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

в) Для числа $\sqrt[4]{9}$ ищем последовательные целые числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt[4]{9} < n+1$. Сравним число 9 с четвертыми степенями целых чисел.
Возведем целые числа в четвертую степень:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
Поскольку $1 < 9 < 16$, то справедливо неравенство $1^4 < 9 < 2^4$.
Извлекая корень четвертой степени из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{9} < \sqrt[4]{16}$
$1 < \sqrt[4]{9} < 2$
Таким образом, число $\sqrt[4]{9}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

г) Для числа $\sqrt[4]{52}$ ищем последовательные целые числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt[4]{52} < n+1$. Сравним число 52 с четвертыми степенями целых чисел.
Возведем целые числа в четвертую степень:
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
Поскольку $16 < 52 < 81$, то справедливо неравенство $2^4 < 52 < 3^4$.
Извлекая корень четвертой степени из каждой части неравенства, получаем:
$\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{52} < \sqrt[4]{81}$
$2 < \sqrt[4]{52} < 3$
Таким образом, число $\sqrt[4]{52}$ заключено между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.