Номер 173, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

173. При каких значениях a верно равенство:

а) $\sqrt{a^2} = a;$

б) $\sqrt[4]{a^4} = -a;$

в) $\sqrt[3]{a^3} = a?$

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = a$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению $x$. Свойство корня четной степени от степени с тем же показателем для любого действительного числа $a$ выглядит так: $\sqrt{a^2} = |a|$. Результат извлечения арифметического квадратного корня всегда неотрицателен.

Таким образом, исходное равенство $\sqrt{a^2} = a$ можно переписать в виде $|a| = a$.

Это равенство верно тогда и только тогда, когда число $a$ является неотрицательным. Если $a \geq 0$, то $|a| = a$, и равенство выполняется. Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и равенство $|a| = a$ не выполняется.

Ответ: $a \geq 0$.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{a^4} = -a$.

Корень четной степени (в данном случае, 4-й) из выражения в той же степени равен модулю этого выражения: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Это следует из того, что результат извлечения корня четной степени из неотрицательного числа $a^4$ должен быть неотрицательным.

Подставим это в исходное равенство и получим: $|a| = -a$.

Проанализируем полученное равенство. По определению модуля, равенство $|a| = -a$ выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ является неположительным.
• Если $a > 0$, то $|a| = a$, и равенство принимает вид $a = -a$, что верно только при $a=0$, но это противоречит условию $a > 0$.
• Если $a = 0$, то $|0| = -0$, то есть $0 = 0$. Равенство верно.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и равенство принимает вид $-a = -a$, что является тождеством для всех $a < 0$.
Объединяя случаи, получаем, что равенство верно при $a \leq 0$.

Ответ: $a \leq 0$.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Корень нечетной степени (в данном случае, 3-й) из числа в той же степени всегда равен самому этому числу. В общем виде это свойство записывается как $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого действительного числа $a$. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени может быть отрицательным.

Таким образом, равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$ является тождеством и выполняется для любых действительных значений $a$, как положительных, так и отрицательных, а также для $a=0$.

Например, если $a=2$, то $\sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2$, и равенство $2=2$ верно. Если $a=-2$, то $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$, и равенство $-2=-2$ также верно.

Ответ: $a$ — любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).