Номер 178, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

178. Решите уравнение:

a) $ \frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{x^2 + 3x - 10}; $

б) $ \frac{y}{2y-3} + \frac{1}{y+7} + \frac{17}{2y^2 + 11y - 21} = 0. $

а) $\frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{x^2+3x-10}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Разложим знаменатель третьей дроби на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2+3x-10=0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Следовательно, $x^2+3x-10 = (x-2)(x+5)$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -5$.

Перепишем уравнение, используя разложение знаменателя:

$\frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{(x-2)(x+5)}$

Общий знаменатель дробей — $(x-2)(x+5)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей, учитывая ОДЗ:

$x(x+5) - 8(x-2) = 14$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 5x - 8x + 16 = 14$

$x^2 - 3x + 16 - 14 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -5$).

Корень $x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели $x-2$ и $x^2+3x-10$ обращаются в ноль. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $x=1$.

Ответ: 1.

б) $\frac{y}{2y-3} + \frac{1}{y+7} + \frac{17}{2y^2+11y-21} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $y$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

$2y-3 \neq 0 \implies y \neq \frac{3}{2}$

$y+7 \neq 0 \implies y \neq -7$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби $2y^2+11y-21$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $2y^2+11y-21=0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-11-17}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$; $y_2 = \frac{-11+17}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, $2y^2+11y-21 = 2(y - \frac{3}{2})(y+7) = (2y-3)(y+7)$.

ОДЗ: $y \neq \frac{3}{2}$ и $y \neq -7$.

Перепишем исходное уравнение:

$\frac{y}{2y-3} + \frac{1}{y+7} + \frac{17}{(2y-3)(y+7)} = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(2y-3)(y+7)$:

$\frac{y(y+7)}{(2y-3)(y+7)} + \frac{1(2y-3)}{(2y-3)(y+7)} + \frac{17}{(2y-3)(y+7)} = 0$

$\frac{y(y+7) + (2y-3) + 17}{(2y-3)(y+7)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю:

$y(y+7) + 2y - 3 + 17 = 0$

$y^2 + 7y + 2y + 14 = 0$

$y^2 + 9y + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а их произведение равно 14. Корни уравнения: $y_1=-2$ и $y_2=-7$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($y \neq \frac{3}{2}$ и $y \neq -7$).

Корень $y_1=-2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $y_2=-7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $y=-7$ знаменатели $y+7$ и $2y^2+11y-21$ обращаются в ноль. Следовательно, $y=-7$ является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $y=-2$.

Ответ: -2.