Номер 181, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

181. Постройте график функции:

а) $y = \frac{4}{x - 3}$;

б) $y = \frac{4}{x} + 2$;

в) $y = \frac{4}{x + 3}$;

г) $y = \frac{4}{x} - 2$.

Для построения графиков всех заданных функций используется метод преобразования графика базовой функции. В данном случае базовой функцией является обратная пропорциональность $y = \frac{4}{x}$.

График функции $y = \frac{k}{x}$ (при $k>0$) — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Общий вид функций в задании — $y = \frac{k}{x-a} + b$. Такой график получается из графика $y = \frac{k}{x}$ параллельным переносом, при котором центр симметрии гиперболы $(0,0)$ перемещается в точку $(a, b)$. Новыми асимптотами становятся прямые $x=a$ и $y=b$.

а) $y = \frac{4}{x - 3}$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Здесь $a=3, b=0$. Центр симметрии смещается в точку $(3, 0)$.
Вертикальная асимптота: $x=3$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Для построения найдем несколько точек, подставляя значения $x$ в уравнение:
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1-3} = -2$; точка $(1, -2)$.
- если $x=2$, то $y = \frac{4}{2-3} = -4$; точка $(2, -4)$.
- если $x=4$, то $y = \frac{4}{4-3} = 4$; точка $(4, 4)$.
- если $x=5$, то $y = \frac{4}{5-3} = 2$; точка $(5, 2)$.
- если $x=7$, то $y = \frac{4}{7-3} = 1$; точка $(7, 1)$.

Построим асимптоты $x=3$ и $y=0$, отметим вычисленные точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x - 3}$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=3$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

б) $y = \frac{4}{x} + 2$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Здесь $a=0, b=2$. Центр симметрии смещается в точку $(0, 2)$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Найдем несколько точек для построения:
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1} + 2 = 6$; точка $(1, 6)$.
- если $x=2$, то $y = \frac{4}{2} + 2 = 4$; точка $(2, 4)$.
- если $x=4$, то $y = \frac{4}{4} + 2 = 3$; точка $(4, 3)$.
- если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2} + 2 = 0$; точка $(-2, 0)$.
- если $x=-4$, то $y = \frac{4}{-4} + 2 = 1$; точка $(-4, 1)$.

Построим асимптоты $x=0$ и $y=2$, отметим точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

в) $y = \frac{4}{x + 3}$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Уравнение можно записать как $y = \frac{4}{x - (-3)}$.

Здесь $a=-3, b=0$. Центр симметрии смещается в точку $(-3, 0)$.
Вертикальная асимптота: $x=-3$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Найдем несколько точек для построения:
- если $x=-1$, то $y = \frac{4}{-1+3} = 2$; точка $(-1, 2)$.
- если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2+3} = 4$; точка $(-2, 4)$.
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1+3} = 1$; точка $(1, 1)$.
- если $x=-4$, то $y = \frac{4}{-4+3} = -4$; точка $(-4, -4)$.
- если $x=-5$, то $y = \frac{4}{-5+3} = -2$; точка $(-5, -2)$.

Построим асимптоты $x=-3$ и $y=0$, отметим точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x + 3}$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота: $x=-3$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

г) $y = \frac{4}{x} - 2$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Здесь $a=0, b=-2$. Центр симметрии смещается в точку $(0, -2)$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Найдем несколько точек для построения:
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1} - 2 = 2$; точка $(1, 2)$.
- если $x=2$, то $y = \frac{4}{2} - 2 = 0$; точка $(2, 0)$.
- если $x=4$, то $y = \frac{4}{4} - 2 = -1$; точка $(4, -1)$.
- если $x=-1$, то $y = \frac{4}{-1} - 2 = -6$; точка $(-1, -6)$.
- если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2} - 2 = -4$; точка $(-2, -4)$.

Построим асимптоты $x=0$ и $y=-2$, отметим точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.