Номер 187, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

187. Найдите все точки графика функции $y = \frac{8x - 7}{x}$, у которых и абсцисса, и ордината являются целыми числами.

Для того чтобы найти все точки графика функции $y = \frac{8x - 7}{x}$, у которых и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) являются целыми числами, необходимо выполнить следующие шаги.

По условию задачи, и $x$, и $y$ должны быть целыми числами ($x \in \mathbb{Z}$, $y \in \mathbb{Z}$). Кроме того, из вида функции следует, что $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Преобразуем данную функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{8x - 7}{x} = \frac{8x}{x} - \frac{7}{x} = 8 - \frac{7}{x}$

Из полученного выражения видно, что $y$ будет целым числом тогда и только тогда, когда выражение $\frac{7}{x}$ будет целым числом, поскольку 8 уже является целым числом.

Дробь $\frac{7}{x}$ принимает целые значения, если ее знаменатель $x$ является целым делителем числителя 7.

Найдем все целые делители числа 7. Это: $1, -1, 7, -7$.

Теперь для каждого найденного значения $x$ вычислим соответствующее значение $y$:

• При $x = 1$:
  $y = 8 - \frac{7}{1} = 8 - 7 = 1$
  Следовательно, первая точка имеет координаты $(1, 1)$.
• При $x = -1$:
  $y = 8 - \frac{7}{-1} = 8 + 7 = 15$
  Следовательно, вторая точка имеет координаты $(-1, 15)$.
• При $x = 7$:
  $y = 8 - \frac{7}{7} = 8 - 1 = 7$
  Следовательно, третья точка имеет координаты $(7, 7)$.
• При $x = -7$:
  $y = 8 - \frac{7}{-7} = 8 + 1 = 9$
  Следовательно, четвертая точка имеет координаты $(-7, 9)$.

Других целых делителей у числа 7 нет, поэтому мы нашли все точки графика с целочисленными координатами.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 15)$, $(7, 7)$, $(-7, 9)$.