Номер 186, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

186. Докажите, что графику функции $y = \frac{2x+5}{x-3}$ принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек.

Требуется доказать, что существует ровно две точки на графике функции $y = \frac{2x+5}{x-3}$, у которых и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) являются натуральными числами, а также найти эти точки. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$.

Для решения задачи преобразуем данное выражение, выделив целую часть. Для этого в числителе выделим слагаемое, кратное знаменателю:

$2x + 5 = 2x - 6 + 6 + 5 = 2(x - 3) + 11$

Теперь подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{2(x - 3) + 11}{x - 3} = \frac{2(x - 3)}{x - 3} + \frac{11}{x - 3} = 2 + \frac{11}{x - 3}$

По условию, $x$ и $y$ — натуральные числа. Из выражения $y = 2 + \frac{11}{x - 3}$ видно, что для того, чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{11}{x - 3}$ была целым числом. Это возможно только в том случае, если знаменатель $(x - 3)$ является делителем числа 11.

Число 11 является простым, его целочисленные делители: $1, -1, 11, -11$. Рассмотрим последовательно все возможные случаи.

1. Пусть $x - 3 = 1$. Тогда $x = 1 + 3 = 4$. $x=4$ — натуральное число. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2 + \frac{11}{1} = 13$.
$y=13$ — натуральное число. Следовательно, точка $(4, 13)$ является решением.

2. Пусть $x - 3 = 11$. Тогда $x = 11 + 3 = 14$. $x=14$ — натуральное число. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2 + \frac{11}{11} = 2 + 1 = 3$.
$y=3$ — натуральное число. Следовательно, точка $(14, 3)$ является решением.

3. Пусть $x - 3 = -1$. Тогда $x = -1 + 3 = 2$. $x=2$ — натуральное число. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2 + \frac{11}{-1} = 2 - 11 = -9$.
$y=-9$ не является натуральным числом. Этот случай не подходит.

4. Пусть $x - 3 = -11$. Тогда $x = -11 + 3 = -8$.
$x=-8$ не является натуральным числом. Этот случай также не подходит.

Таким образом, мы перебрали все варианты, при которых $x$ может быть натуральным числом, а $y$ — целым, и нашли, что только в двух случаях обе координаты ($x$ и $y$) являются натуральными числами. Это доказывает, что графику функции принадлежат ровно две точки с натуральными координатами.

Ответ: Было показано, что для того, чтобы $x$ и $y$ были натуральными числами, выражение $x-3$ должно быть делителем числа 11. Перебор делителей $1, 11, -1, -11$ показал, что только при $x-3=1$ и $x-3=11$ обе координаты являются натуральными числами. Искомые точки: $(4, 13)$ и $(14, 3)$.