Номер 192, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

192. Найдите значение выражения:

а) $27^{\frac{1}{3}};

б) $25^{-\frac{1}{2}};

в) $0,16^{\frac{3}{2}};

г) $0,64^{-1,5};

д) $5 \cdot 32^{\frac{1}{5}};

е) $-64^{\frac{1}{3}};

ж) $6 \cdot 8^{\frac{1}{3}};

з) $7 \cdot 0,04^{\frac{1}{2}}.$

а) Для вычисления значения выражения $27^{\frac{1}{3}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.
Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.
Другой способ — представить основание степени как степень с тем же показателем, что и в знаменателе дроби: $27 = 3^3$.
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

б) Для вычисления значения выражения $25^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойствами степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.
$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Также можно представить $25$ как $5^2$:
$25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Для вычисления значения выражения $0,16^{\frac{3}{2}}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,16 = \frac{16}{100}$.
$0,16^{\frac{3}{2}} = (\frac{16}{100})^{\frac{3}{2}}$.
Воспользуемся свойством $(a^b)^c = a^{bc}$: $(\frac{16}{100})^{\frac{3}{2}} = ((\frac{16}{100})^{\frac{1}{2}})^3$.
Вычислим корень: $(\frac{16}{100})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0,4$.
Теперь возведем в куб: $(0,4)^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.
Ответ: 0,064

г) Для вычисления значения выражения $0,64^{-1,5}$ представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,64 = \frac{64}{100}$ и $-1,5 = -\frac{3}{2}$.
$0,64^{-1,5} = (\frac{64}{100})^{-\frac{3}{2}}$.
Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $(\frac{64}{100})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{100}{64})^{\frac{3}{2}}$.
Теперь воспользуемся свойством $(a^b)^c = a^{bc}$: $(\frac{100}{64})^{\frac{3}{2}} = ((\frac{100}{64})^{\frac{1}{2}})^3$.
Вычислим корень: $(\frac{100}{64})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{64}} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
Возведем в куб: $(\frac{5}{4})^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64}$.
Ответ: $\frac{125}{64}$

д) Для вычисления значения выражения $5 \cdot 32^{\frac{1}{5}}$ сначала найдем значение $32^{\frac{1}{5}}$.
$32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32}$.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Теперь выполним умножение: $5 \cdot 2 = 10$.
Ответ: 10

е) Выражение $-64^{\frac{1}{3}}$ означает, что сначала нужно возвести число 64 в степень $\frac{1}{3}$, а затем взять результат с противоположным знаком.
$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64}$.
Так как $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Следовательно, $-64^{\frac{1}{3}} = -4$.
Ответ: -4

ж) Для вычисления значения выражения $6 \cdot 8^{-\frac{1}{3}}$ сначала найдем значение $8^{-\frac{1}{3}}$.
$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $2^3=8$, то $\sqrt[3]{8}=2$.
Получаем $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним умножение: $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.
Ответ: 3

з) Для вычисления значения выражения $7 \cdot 0,04^{-\frac{1}{2}}$ сначала найдем значение $0,04^{-\frac{1}{2}}$.
Представим $0,04$ в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.
$0,04^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{1})^{\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь выполним умножение: $7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: 35