Номер 188, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

188. Решите графически уравнение $\frac{4x}{x+2} = x - 3$.

Чтобы решить уравнение $\frac{4x}{x+2} = x - 3$ графически, нужно построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \frac{4x}{x+2}$ и $y_2 = x - 3$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями данного уравнения.

1. Построение графика функции $y_1 = \frac{4x}{x+2}$

Это дробно-рациональная функция, её график — гипербола. Чтобы упростить построение, выделим целую часть дроби:

$y_1 = \frac{4x}{x+2} = \frac{4(x+2) - 8}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} - \frac{8}{x+2} = 4 - \frac{8}{x+2}$

Этот график можно получить из графика функции $y = -\frac{8}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси абсцисс и на 4 единицы вверх по оси ординат.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x+2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 4$.

Вычислим координаты нескольких точек для построения:

• при $x = -4$, $y_1 = \frac{4(-4)}{-4+2} = \frac{-16}{-2} = 8$. Точка $(-4, 8)$.
• при $x = -3$, $y_1 = \frac{4(-3)}{-3+2} = \frac{-12}{-1} = 12$. Точка $(-3, 12)$.
• при $x = -1$, $y_1 = \frac{4(-1)}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$. Точка $(-1, -4)$.
• при $x = 0$, $y_1 = \frac{4(0)}{0+2} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 2$, $y_1 = \frac{4(2)}{2+2} = \frac{8}{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.
• при $x = 6$, $y_1 = \frac{4(6)}{6+2} = \frac{24}{8} = 3$. Точка $(6, 3)$.

2. Построение графика функции $y_2 = x - 3$

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y_2 = 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• при $x = 3$, $y_2 = 3 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

3. Нахождение решения

Построив графики функций $y_1$ и $y_2$ в одной системе координат, найдем их точки пересечения. Видно, что графики пересекаются в двух точках. По вычисленным ранее координатам мы можем точно определить эти точки: $(-1, -4)$ и $(6, 3)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Проверим найденные решения:

Для $x = -1$:

$\frac{4(-1)}{-1+2} = -1-3$

$\frac{-4}{1} = -4$

$-4 = -4$ (верно)

Для $x = 6$:

$\frac{4(6)}{6+2} = 6-3$

$\frac{24}{8} = 3$

$3 = 3$ (верно)

Ответ: $-1; 6$.