Номер 194, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

194. Упростите выражение:

а) $(a^{0.4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8};$

б) $(x^4)^{\frac{3}{5}} \cdot x^{1.6};$

в) $a(a^{-1.2})^{\frac{3}{4}};$

г) $(a^{0.8})^{-\frac{3}{4}} \cdot (a^{-\frac{2}{5}})^{-1.5}.$

а) Для упрощения данного выражения необходимо использовать свойства степеней: возведение степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и произведение степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала применим правило возведения степени в степень к первому множителю:

$(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot \frac{1}{2}} = a^{0,2}$

Теперь выражение имеет вид $a^{0,2} \cdot a^{0,8}$. Применим правило умножения степеней:

$a^{0,2} \cdot a^{0,8} = a^{0,2 + 0,8} = a^1 = a$

Ответ: $a$.

б) Упростим выражение $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1,6}$, используя те же свойства степеней.

Преобразуем первый множитель:

$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}} = x^{\frac{12}{20}} = x^{\frac{3}{5}}$

Чтобы сложить показатели степеней, представим их в одном виде, например, в виде десятичных дробей. $\frac{3}{5} = 0,6$.

Теперь умножим степени:

$x^{0,6} \cdot x^{1,6} = x^{0,6 + 1,6} = x^{2,2}$

Ответ: $x^{2,2}$.

в) Упростим выражение $a(a^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$. Учтем, что $a = a^1$.

Сначала преобразуем второй множитель, возведя степень в степень:

$(a^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = a^{-1,2 \cdot \frac{3}{4}}$

Вычислим произведение в показателе степени: $-1,2 \cdot \frac{3}{4} = -1,2 \cdot 0,75 = -0,9$.

Таким образом, $(a^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = a^{-0,9}$.

Теперь выполним умножение:

$a^1 \cdot a^{-0,9} = a^{1 + (-0,9)} = a^{1 - 0,9} = a^{0,1}$

Ответ: $a^{0,1}$.

г) Упростим выражение $(a^{0,8})^{-\frac{3}{4}} \cdot (a^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$.

Преобразуем каждый множитель по отдельности, используя правило возведения степени в степень.

Первый множитель:

$(a^{0,8})^{-\frac{3}{4}} = a^{0,8 \cdot (-\frac{3}{4})} = a^{0,8 \cdot (-0,75)} = a^{-0,6}$

Второй множитель. Представим показатели в виде десятичных или обыкновенных дробей: $-\frac{2}{5} = -0,4$ и $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$(a^{-\frac{2}{5}})^{-1,5} = a^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{3}{2})} = a^{\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 2}} = a^{\frac{3}{5}} = a^{0,6}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$a^{-0,6} \cdot a^{0,6} = a^{-0,6 + 0,6} = a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).

Ответ: $1$.