Номер 191, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

191. Представьте арифметический корень в виде степени с дробным показателем:

а) $\sqrt{1,3}$;

в) $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$;

д) $\sqrt[7]{a^4}$;

ж) $\sqrt[3]{a^2 - b^2}$;

б) $\sqrt[3]{7^{-1}}$;

г) $\sqrt[5]{\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}}$;

е) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$;

з) $\sqrt[5]{(x-y)^2}$.

Для представления арифметического корня в виде степени с дробным показателем используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $a$ — неотрицательное число (а для корней нечетной степени — любое действительное число), $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), а $m$ — целое число. Если у корня не указан показатель (например, $\sqrt{a}$), то это квадратный корень, и его показатель равен 2. Если у подкоренного выражения не указана степень (например, $\sqrt[n]{a}$), то его степень считается равной 1.

а) В выражении $\sqrt{1,3}$ показатель корня $n=2$ (так как это квадратный корень), а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.
Применяя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:$\sqrt{1,3} = \sqrt[2]{1,3^1} = 1,3^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $1,3^{\frac{1}{2}}$

б) В выражении $\sqrt[3]{7^{-1}}$ показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-1$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[3]{7^{-1}} = 7^{\frac{-1}{3}} = 7^{-\frac{1}{3}}$.
Ответ: $7^{-\frac{1}{3}}$

в) В выражении $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$ показатель корня $n=4$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[4]{\frac{2}{3}} = \sqrt[4]{(\frac{2}{3})^1} = (\frac{2}{3})^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{4}}$

г) В выражении $\sqrt[5]{(\frac{3}{2})^{-2}}$ показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-2$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[5]{(\frac{3}{2})^{-2}} = (\frac{3}{2})^{\frac{-2}{5}} = (\frac{3}{2})^{-\frac{2}{5}}$.
Ответ: $(\frac{3}{2})^{-\frac{2}{5}}$

д) В выражении $\sqrt[7]{a^4}$ показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=4$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[7]{a^4} = a^{\frac{4}{7}}$.
Ответ: $a^{\frac{4}{7}}$

е) В выражении $\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$ сначала представим корень в знаменателе в виде степени с дробным показателем:$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, получаем:$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = x^{-\frac{3}{4}}$.
Ответ: $x^{-\frac{3}{4}}$

ж) В выражении $\sqrt[3]{a^2 - b^2}$ показатель корня $n=3$. Всё выражение $(a^2-b^2)$ является основанием степени с показателем $m=1$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[3]{a^2 - b^2} = \sqrt[3]{(a^2 - b^2)^1} = (a^2 - b^2)^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(a^2 - b^2)^{\frac{1}{3}}$

з) В выражении $\sqrt[5]{(x - y)^2}$ показатель корня $n=5$. Выражение $(x-y)$ является основанием степени с показателем $m=2$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[5]{(x - y)^2} = (x - y)^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $(x - y)^{\frac{2}{5}}$