Страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

190. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

а) $3^{\frac{1}{2}}, 5^{\frac{3}{4}}, 0,2^{0,5}, 7^{-0,25};$

б) $x^{\frac{3}{4}}, a^{1,2}, b^{-0,8}, c^{\frac{2}{3}};$

в) $5a^{\frac{1}{3}}, ax^{\frac{3}{5}}, -b^{-1,5}, (2b)^{\frac{1}{4}};$

г) $(x-y)^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{2}{3}}-y^{\frac{2}{3}}, 3(a+b)^{\frac{3}{4}}, 4a^{-\frac{2}{3}}+ax^{\frac{2}{3}}.$

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется основное свойство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \geq 2$). Это означает, что знаменатель дроби в показателе степени становится показателем корня, а числитель — показателем степени подкоренного выражения. Если показатель степени отрицательный, то используется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

а)

1. $3^{\frac{1}{2}}$: по определению степени с дробным показателем, где $m=1$ и $n=2$, получаем $\sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.

2. $5^{\frac{3}{4}}$: здесь $m=3$ и $n=4$. Следовательно, $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125}$.

3. $0.2^{0.5}$: сначала преобразуем десятичный показатель в обыкновенную дробь: $0.5 = \frac{1}{2}$. Тогда $0.2^{0.5} = 0.2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0.2}$.

4. $7^{-0.25}$: преобразуем десятичный показатель: $-0.25 = -\frac{1}{4}$. Так как показатель отрицательный, выражение равно $\frac{1}{7^{\frac{1}{4}}}$. Преобразуя степень в знаменателе, получаем $\frac{1}{\sqrt[4]{7}}$.

Ответ: $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$; $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{125}$; $0.2^{0.5} = \sqrt{0.2}$; $7^{-0.25} = \frac{1}{\sqrt[4]{7}}$.

б)

1. $x^{\frac{3}{4}}$: применяем формулу, где основание $x$, $m=3$, $n=4$. Получаем $\sqrt[4]{x^3}$.

2. $a^{1.2}$: преобразуем показатель $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$. Тогда $a^{1.2} = a^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{a^6}$.

3. $b^{-0.8}$: преобразуем показатель $-0.8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$. Тогда $b^{-0.8} = b^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{b^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{b^4}}$.

4. $c^{\frac{2}{3}}$: по формуле, где основание $c$, $m=2$, $n=3$, получаем $\sqrt[3]{c^2}$.

Ответ: $x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$; $a^{1.2} = \sqrt[5]{a^6}$; $b^{-0.8} = \frac{1}{\sqrt[5]{b^4}}$; $c^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{c^2}$.

в)

1. $5a^{\frac{1}{3}}$: показатель степени $\frac{1}{3}$ относится только к переменной $a$. Таким образом, $5a^{\frac{1}{3}} = 5 \cdot \sqrt[3]{a^1} = 5\sqrt[3]{a}$.

2. $ax^{\frac{3}{5}}$: показатель степени $\frac{3}{5}$ относится только к переменной $x$. Таким образом, $ax^{\frac{3}{5}} = a \cdot \sqrt[5]{x^3} = a\sqrt[5]{x^3}$.

3. $-b^{-1.5}$: преобразуем показатель $-1.5 = -\frac{3}{2}$. Степень относится к $b$. Знак "минус" является коэффициентом $-1$. $-b^{-1.5} = - (b^{-\frac{3}{2}}) = -\frac{1}{b^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{b^3}}$.

4. $(2b)^{\frac{1}{4}}$: показатель степени $\frac{1}{4}$ относится ко всему выражению в скобках $(2b)$. Таким образом, $(2b)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2b}$.

Ответ: $5a^{\frac{1}{3}} = 5\sqrt[3]{a}$; $ax^{\frac{3}{5}} = a\sqrt[5]{x^3}$; $-b^{-1.5} = -\frac{1}{\sqrt{b^3}}$; $(2b)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2b}$.

г)

1. $(x-y)^{\frac{2}{3}}$: основанием степени является выражение $(x-y)$. Применяя формулу, получаем $\sqrt[3]{(x-y)^2}$.

2. $x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}$: преобразуем каждую степень в корень отдельно. $x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ и $y^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{y^2}$. Результат: $\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2}$.

3. $3(a+b)^{\frac{3}{4}}$: основание степени — $(a+b)$, а $3$ — это коэффициент. Преобразуем степень в корень: $3(a+b)^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{(a+b)^3}$.

4. $4a^{-\frac{2}{3}} + ax^{\frac{2}{3}}$: это сумма двух слагаемых, преобразуем каждое. Первое слагаемое: $4a^{-\frac{2}{3}} = 4 \cdot \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{4}{\sqrt[3]{a^2}}$. Второе слагаемое: $ax^{\frac{2}{3}} = a\sqrt[3]{x^2}$. Вся сумма: $\frac{4}{\sqrt[3]{a^2}} + a\sqrt[3]{x^2}$.

Ответ: $(x-y)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-y)^2}$; $x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2}$; $3(a+b)^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{(a+b)^3}$; $4a^{-\frac{2}{3}} + ax^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{\sqrt[3]{a^2}} + a\sqrt[3]{x^2}$.

191. Представьте арифметический корень в виде степени с дробным показателем:

а) $\sqrt{1,3}$;

в) $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$;

д) $\sqrt[7]{a^4}$;

ж) $\sqrt[3]{a^2 - b^2}$;

б) $\sqrt[3]{7^{-1}}$;

г) $\sqrt[5]{\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}}$;

е) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$;

з) $\sqrt[5]{(x-y)^2}$.

Для представления арифметического корня в виде степени с дробным показателем используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $a$ — неотрицательное число (а для корней нечетной степени — любое действительное число), $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), а $m$ — целое число. Если у корня не указан показатель (например, $\sqrt{a}$), то это квадратный корень, и его показатель равен 2. Если у подкоренного выражения не указана степень (например, $\sqrt[n]{a}$), то его степень считается равной 1.

а) В выражении $\sqrt{1,3}$ показатель корня $n=2$ (так как это квадратный корень), а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.
Применяя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:$\sqrt{1,3} = \sqrt[2]{1,3^1} = 1,3^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $1,3^{\frac{1}{2}}$

б) В выражении $\sqrt[3]{7^{-1}}$ показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-1$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[3]{7^{-1}} = 7^{\frac{-1}{3}} = 7^{-\frac{1}{3}}$.
Ответ: $7^{-\frac{1}{3}}$

в) В выражении $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$ показатель корня $n=4$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[4]{\frac{2}{3}} = \sqrt[4]{(\frac{2}{3})^1} = (\frac{2}{3})^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{4}}$

г) В выражении $\sqrt[5]{(\frac{3}{2})^{-2}}$ показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-2$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[5]{(\frac{3}{2})^{-2}} = (\frac{3}{2})^{\frac{-2}{5}} = (\frac{3}{2})^{-\frac{2}{5}}$.
Ответ: $(\frac{3}{2})^{-\frac{2}{5}}$

д) В выражении $\sqrt[7]{a^4}$ показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=4$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[7]{a^4} = a^{\frac{4}{7}}$.
Ответ: $a^{\frac{4}{7}}$

е) В выражении $\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$ сначала представим корень в знаменателе в виде степени с дробным показателем:$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, получаем:$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = x^{-\frac{3}{4}}$.
Ответ: $x^{-\frac{3}{4}}$

ж) В выражении $\sqrt[3]{a^2 - b^2}$ показатель корня $n=3$. Всё выражение $(a^2-b^2)$ является основанием степени с показателем $m=1$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[3]{a^2 - b^2} = \sqrt[3]{(a^2 - b^2)^1} = (a^2 - b^2)^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(a^2 - b^2)^{\frac{1}{3}}$

з) В выражении $\sqrt[5]{(x - y)^2}$ показатель корня $n=5$. Выражение $(x-y)$ является основанием степени с показателем $m=2$.
Применяя формулу, получаем:$\sqrt[5]{(x - y)^2} = (x - y)^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $(x - y)^{\frac{2}{5}}$