Страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

248. Сравните:

a) $1,2^6$ и $1,2^8$;

б) $3,4^{11}$ и $3,4^{16}$;

в) $0,3^2$ и $0,3^4$;

г) $(-2,1)^4$ и $(-2,1)^6$.

а) Чтобы сравнить $1,2^6$ и $1,2^8$, рассмотрим свойства степеней с одинаковым основанием. Основание степени $a = 1,2$ больше единицы ($a > 1$). Для степенной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$ справедливо правило: чем больше показатель степени, тем больше значение самой степени. Поскольку показатель $8 > 6$, то $1,2^8 > 1,2^6$.

Ответ: $1,2^6 < 1,2^8$

б) Сравниваем $3,4^{11}$ и $3,4^{16}$. Основание степени $a = 3,4$ также больше единицы ($a > 1$). Следовательно, как и в предыдущем случае, большему показателю степени соответствует большее значение. Так как $16 > 11$, то $3,4^{16} > 3,4^{11}$.

Ответ: $3,4^{11} < 3,4^{16}$

в) Сравниваем $0,3^2$ и $0,3^4$. В данном случае основание степени $a = 0,3$ является положительным числом, меньшим единицы ($0 < a < 1$). Для степенной функции $y = a^x$ с таким основанием правило обратное: чем больше показатель степени, тем меньше значение самой степени. Поскольку показатель $4 > 2$, то $0,3^4 < 0,3^2$.

Ответ: $0,3^2 > 0,3^4$

г) Сравниваем $(-2,1)^4$ и $(-2,1)^6$. Основание степени является отрицательным числом. Оба показателя, 4 и 6, — четные числа. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. Таким образом, $(-2,1)^4 = 2,1^4$ и $(-2,1)^6 = 2,1^6$. Теперь задача сводится к сравнению $2,1^4$ и $2,1^6$. Основание $2,1 > 1$, значит, большему показателю соответствует большее значение. Так как $6 > 4$, то $2,1^6 > 2,1^4$, а следовательно, и $(-2,1)^6 > (-2,1)^4$.

Ответ: $(-2,1)^4 < (-2,1)^6$

249. Объясните, почему верно неравенство:

а) $5^{100} > 4^{100};$

б) $0,87^{100} < 0,89^{100};$

в) $1,5^{261} < 1,6^{261};$

г) $(\frac{2}{3})^{261} > (\frac{3}{5})^{261}.$

а) Неравенство $5^{100} > 4^{100}$ верно, поскольку сравниваются степени с одинаковым положительным показателем $100$. Для положительных оснований, чем больше основание, тем больше и результат возведения в одну и ту же положительную степень. Так как $5 > 4$, то и $5^{100} > 4^{100}$.
Ответ: неравенство верно, так как $5 > 4$.

б) Неравенство $0.87^{100} < 0.89^{100}$ верно, так как показатели степени одинаковы и положительны ($100 > 0$). Сравниваем основания: $0.87 < 0.89$. Поскольку основания положительны, при возведении их в одинаковую положительную степень знак неравенства сохраняется. Следовательно, $0.87^{100} < 0.89^{100}$.
Ответ: неравенство верно, так как $0.87 < 0.89$.

в) В неравенстве $1.5^{261} < 1.6^{261}$ показатели степени равны ($261$) и являются положительным числом. Сравним основания: $1.5 < 1.6$. Так как основания положительны, при возведении в одну и ту же положительную степень знак неравенства не меняется. Поэтому неравенство $1.5^{261} < 1.6^{261}$ является верным.
Ответ: неравенство верно, так как $1.5 < 1.6$.

г) В неравенстве $\left(\frac{2}{3}\right)^{261} > \left(\frac{3}{5}\right)^{261}$ показатели степени также одинаковы и положительны ($261 > 0$). Для того чтобы сравнить значения, сначала сравним их основания: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $15$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
Так как $10 > 9$, то $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, и, следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$. Поскольку большему положительному основанию соответствует большая степень, неравенство $\left(\frac{2}{3}\right)^{261} > \left(\frac{3}{5}\right)^{261}$ верно.
Ответ: неравенство верно, так как $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

250. Сравните значения степеней:

а) $2^{10}$ и $31^{10}$;

б) $0,3^{5}$ и $0,2^{5}$;

в) $(\frac{4}{5})^{17}$ и $(\frac{8}{9})^{17}$;

г) $(\frac{4}{9})^{10}$ и $(\frac{2}{3})^{20}$;

д) $3^{21}$ и $8^{7}$;

е) $1250^{3}$ и $36^{6}$.

а) Сравниваем значения степеней $2^{10}$ и $31^{10}$. В этом случае показатели степеней одинаковы и равны 10. Сравним основания: $2 < 31$. Для положительных оснований $a$ и $b$ и натурального показателя $n$ справедливо правило: если $a < b$, то $a^n < b^n$. Следовательно, $2^{10} < 31^{10}$.
Ответ: $2^{10} < 31^{10}$.

б) Сравниваем $0,3^5$ и $0,2^5$. Показатели степеней одинаковы и равны 5. Сравним основания: $0,3 > 0,2$. Так как основания положительны, больше то значение степени, у которого больше основание. Следовательно, $0,3^5 > 0,2^5$.
Ответ: $0,3^5 > 0,2^5$.

в) Сравниваем $(\frac{4}{5})^{17}$ и $(\frac{8}{9})^{17}$. Показатели степеней одинаковы и равны 17. Необходимо сравнить основания $\frac{4}{5}$ и $\frac{8}{9}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 9 это 45.
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{36}{45}$
$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{40}{45}$
Так как $\frac{36}{45} < \frac{40}{45}$, то и $\frac{4}{5} < \frac{8}{9}$. Поскольку основания положительны, а показатели одинаковы, то $(\frac{4}{5})^{17} < (\frac{8}{9})^{17}$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^{17} < (\frac{8}{9})^{17}$.

г) Сравниваем $(\frac{4}{9})^{10}$ и $(\frac{2}{3})^{20}$. В этом случае и основания, и показатели степеней различны. Попробуем привести степени к одному основанию или одному показателю. Заметим, что основание первой дроби является квадратом второй: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Преобразуем первое выражение: $(\frac{4}{9})^{10} = ((\frac{2}{3})^2)^{10}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $((\frac{2}{3})^2)^{10} = (\frac{2}{3})^{2 \cdot 10} = (\frac{2}{3})^{20}$.
Теперь мы сравниваем $(\frac{2}{3})^{20}$ и $(\frac{2}{3})^{20}$. Эти выражения равны.
Ответ: $(\frac{4}{9})^{10} = (\frac{2}{3})^{20}$.

д) Сравниваем $3^{21}$ и $8^7$. Приведем степени к общему показателю. Заметим, что $21 = 3 \cdot 7$.
Преобразуем первое число: $3^{21} = 3^{3 \cdot 7} = (3^3)^7$.
Вычислим новое основание: $3^3 = 27$.
Таким образом, $3^{21} = 27^7$.
Теперь сравниваем $27^7$ и $8^7$. Показатели степеней равны, а основания $27 > 8$. Следовательно, $27^7 > 8^7$, а значит $3^{21} > 8^7$.
Ответ: $3^{21} > 8^7$.

е) Сравниваем $1250^3$ и $36^6$. Приведем степени к общему показателю. Заметим, что $6 = 2 \cdot 3$.
Преобразуем второе число: $36^6 = 36^{2 \cdot 3} = (36^2)^3$.
Вычислим новое основание: $36^2 = 1296$.
Таким образом, $36^6 = 1296^3$.
Теперь сравниваем $1250^3$ и $1296^3$. Показатели степеней равны, а основания $1250 < 1296$. Следовательно, $1250^3 < 1296^3$, а значит $1250^3 < 36^6$.
Ответ: $1250^3 < 36^6$.

251. Даны функции $f(x) = x^7$ и $g(x) = x^{10}$. Сравните с нулём:

а) $f(25) - f(12);$

б) $f(-30) - f(-20);$

в) $f(0) \cdot f(60);$

г) $g(17) - g(5);$

д) $g(-9) \cdot g(-17);$

е) $g(38) - g(0).$

Для решения задачи проанализируем свойства данных функций $f(x) = x^7$ и $g(x) = x^{10}$.

Функция $f(x) = x^7$ является степенной функцией с нечетным показателем. Эта функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Также, знак функции $f(x)$ совпадает со знаком аргумента $x$: если $x>0$, то $f(x)>0$; если $x<0$, то $f(x)<0$; если $x=0$, то $f(x)=0$.

Функция $g(x) = x^{10}$ является степенной функцией с четным показателем. Эта функция является четной, то есть $g(-x) = g(x)$ для любого $x$. Она убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$. Значения функции неотрицательны для любого $x$, то есть $g(x) \geq 0$, и $g(x)=0$ только при $x=0$.

а)

Требуется сравнить с нулём выражение $f(25) - f(12)$. Так как функция $f(x) = x^7$ является строго возрастающей на всей числовой прямой и $25 > 12$, то $f(25) > f(12)$. Следовательно, разность $f(25) - f(12)$ будет положительной.

Ответ: больше нуля.

б)

Требуется сравнить с нулём выражение $f(-30) - f(-20)$. Так как функция $f(x) = x^7$ является строго возрастающей и $-30 < -20$, то $f(-30) < f(-20)$. Следовательно, разность $f(-30) - f(-20)$ будет отрицательной.

Ответ: меньше нуля.

в)

Требуется сравнить с нулём выражение $f(0) \cdot f(60)$. Найдем значение функции $f(x)$ при $x=0$: $f(0) = 0^7 = 0$. Произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому $f(0) \cdot f(60) = 0 \cdot 60^7 = 0$.

Ответ: равно нулю.

г)

Требуется сравнить с нулём выражение $g(17) - g(5)$. Аргументы $17$ и $5$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция $g(x) = x^{10}$ является возрастающей. Поскольку $17 > 5$, то $g(17) > g(5)$. Следовательно, разность $g(17) - g(5)$ будет положительной.

Ответ: больше нуля.

д)

Требуется сравнить с нулём выражение $g(-9) \cdot g(-17)$. Функция $g(x) = x^{10}$ принимает неотрицательные значения при любых $x$. Для любого ненулевого аргумента значение функции будет строго положительным. $g(-9) = (-9)^{10} > 0$. $g(-17) = (-17)^{10} > 0$. Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

Ответ: больше нуля.

е)

Требуется сравнить с нулём выражение $g(38) - g(0)$. Найдем значения функции в заданных точках: $g(38) = 38^{10}$ и $g(0) = 0^{10} = 0$. Тогда разность $g(38) - g(0) = 38^{10} - 0 = 38^{10}$. Так как $38^{10} > 0$, то и выражение больше нуля.

Ответ: больше нуля.

252. Докажите, что при натуральном n:

а) если $x \in [0; 1]$, то $x^{n+1} \leq x^n$;

б) если $x \in (1; +\infty)$, то $x^{n+1} > x^n$.

а) Требуется доказать, что при натуральном $n$ и $x \in [0; 1]$ выполняется неравенство $x^{n+1} \le x^n$.

Преобразуем данное неравенство, перенеся все члены в одну сторону:

$x^n - x^{n+1} \ge 0$

Вынесем общий множитель $x^n$ за скобки:

$x^n(1 - x) \ge 0$

Рассмотрим это неравенство для всех $x$ из отрезка $[0; 1]$.

1. Если $x=0$, то неравенство принимает вид $0^n(1-0) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное утверждение.

2. Если $x=1$, то неравенство принимает вид $1^n(1-1) \ge 0$, то есть $1 \cdot 0 \ge 0$, или $0 \ge 0$. Это также верное утверждение.

3. Если $x \in (0; 1)$, то есть $0 < x < 1$. В этом случае:

- Так как $x > 0$ и $n$ — натуральное число, то $x^n > 0$.

- Так как $x < 1$, то $1 - x > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($x^n$ и $1-x$) есть число положительное. Следовательно, $x^n(1 - x) > 0$. Это удовлетворяет неравенству $x^n(1 - x) \ge 0$.

Таким образом, мы показали, что неравенство выполняется для крайних точек отрезка ($x=0$ и $x=1$) и для всех внутренних точек ($x \in (0; 1)$). Следовательно, утверждение доказано для всех $x \in [0; 1]$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Требуется доказать, что при натуральном $n$ и $x \in (1; +\infty)$ выполняется неравенство $x^{n+1} > x^n$.

Преобразуем данное неравенство, перенеся все члены в одну сторону:

$x^{n+1} - x^n > 0$

Вынесем общий множитель $x^n$ за скобки:

$x^n(x - 1) > 0$

Рассмотрим это неравенство при условии, что $x \in (1; +\infty)$, то есть $x > 1$.

- Так как $x > 1$, то $x$ — положительное число. Поскольку $n$ — натуральное число, то и $x^n$ будет положительным числом: $x^n > 0$.

- Так как $x > 1$, то разность $x - 1$ будет положительной: $x - 1 > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($x^n$ и $x - 1$) всегда является положительным числом. Следовательно, $x^n(x - 1) > 0$.

Это доказывает исходное неравенство $x^{n+1} > x^n$ для всех $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

253. Найдите $n$, если известно, что график функции $y = x^n$ проходит через точку:

a) A(2; 8);

б) B(3,5; 12,25);

в) C(-3; 81);

г) D(-2; -32).

Чтобы найти значение $n$, нужно подставить координаты данной точки $(x; y)$ в уравнение функции $y = x^n$ и решить полученное уравнение относительно $n$.

а) Подставляем координаты точки $A(2; 8)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = 2$ и $y = 8$.
Получаем уравнение: $8 = 2^n$.
Так как $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$, то уравнение можно переписать в виде:
$2^3 = 2^n$
Отсюда следует, что $n = 3$.
Ответ: $n=3$.

б) Подставляем координаты точки $B(3,5; 12,25)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = 3,5$ и $y = 12,25$.
Получаем уравнение: $12,25 = (3,5)^n$.
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных или заметим, что $3,5^2 = 3,5 \cdot 3,5 = 12,25$.
Можно также использовать обыкновенные дроби: $x = 3,5 = \frac{7}{2}$ и $y = 12,25 = \frac{1225}{100} = \frac{49}{4}$.
Уравнение принимает вид: $\frac{49}{4} = (\frac{7}{2})^n$.
Так как $\frac{49}{4} = \frac{7^2}{2^2} = (\frac{7}{2})^2$, получаем:
$(\frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{2})^n$
Отсюда следует, что $n = 2$.
Ответ: $n=2$.

в) Подставляем координаты точки $C(-3; 81)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = -3$ и $y = 81$.
Получаем уравнение: $81 = (-3)^n$.
Известно, что $81 = 3^4$.
Поскольку результат ($81$) положителен, а основание степени ($-3$) отрицательно, показатель степени $n$ должен быть четным числом.
Проверим $n=4$: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.
Таким образом, уравнение можно записать как:
$(-3)^4 = (-3)^n$
Отсюда следует, что $n = 4$.
Ответ: $n=4$.

г) Подставляем координаты точки $D(-2; -32)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = -2$ и $y = -32$.
Получаем уравнение: $-32 = (-2)^n$.
Известно, что $32 = 2^5$.
Поскольку результат ($-32$) отрицателен, а основание степени ($-2$) также отрицательно, показатель степени $n$ должен быть нечетным числом.
Проверим $n=5$: $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$.
Таким образом, уравнение можно записать как:
$(-2)^5 = (-2)^n$
Отсюда следует, что $n = 5$.
Ответ: $n=5$.

254. Существует ли такое натуральное значение $n$, при котором график функции $y = x^n$ проходит через точку:

а) A(2; 5);

б) B($\sqrt{3}$; 81);

в) C(-5; 415);

г) D(-7; -343)?

а) Чтобы график функции $y = x^n$ проходил через точку $A(2; 5)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x = 2$ и $y = 5$ в уравнение:
$5 = 2^n$
Здесь $n$ — натуральное число. Рассмотрим степени числа 2 с натуральными показателями:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
Мы видим, что $2^2 < 5 < 2^3$. Это означает, что не существует такого натурального числа $n$, при котором $2^n$ было бы равно 5. Значение $n$ было бы равно $\log_2 5$, что не является натуральным числом.
Ответ: нет, не существует.

б) Подставим координаты точки $B(\sqrt{3}; 81)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$81 = (\sqrt{3})^n$
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $81 = 3^4$.
$3^4 = (3^{1/2})^n$
Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:
$3^4 = 3^{n/2}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$4 = \frac{n}{2}$
Отсюда находим $n$:
$n = 4 \cdot 2 = 8$
Число 8 является натуральным.
Ответ: да, существует, $n = 8$.

в) Подставим координаты точки $C(-5; 415)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$415 = (-5)^n$
Значение $y = 415$ положительно. Если основание степени отрицательное ($x = -5$), то результат может быть положительным только в том случае, если показатель степени $n$ — четное натуральное число.
При четном $n$ имеем $(-5)^n = 5^n$. Таким образом, уравнение принимает вид:
$415 = 5^n$
Рассмотрим степени числа 5:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
Число 415 не является степенью числа 5 ($125 < 415 < 625$). Кроме того, разложение числа 415 на простые множители — $415 = 5 \cdot 83$, что подтверждает, что оно не является степенью числа 5. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего этому уравнению.
Ответ: нет, не существует.

г) Подставим координаты точки $D(-7; -343)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$-343 = (-7)^n$
Значение $y = -343$ отрицательно. Если основание степени отрицательное ($x = -7$), то результат может быть отрицательным только в том случае, если показатель степени $n$ — нечетное натуральное число.
Проверим, является ли 343 степенью числа 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$
Таким образом, $343 = 7^3$.
Поскольку нам нужно, чтобы результат был отрицательным, а $n$ — нечетным, мы можем предположить, что $n=3$. Проверим это:
$(-7)^3 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot (-7) = -343$
Уравнение $-343 = (-7)^3$ верно. Число 3 является натуральным.
Ответ: да, существует, $n = 3$.

255. Постройте график функции:

а) $y = -x^3;$

б) $y = x^3 - 1;$

в) $y = (x - 2)^3;$

г) $y = (x - 2)^3 + 1;$

д) $y = -x^4;$

е) $y = x^4 - 1;$

ж) $y = (x - 3)^4;$

з) $y = (x - 3)^4 + 2.$

а) Для построения графика функции $y = -x^3$ необходимо взять за основу график базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола). График $y = x^3$ проходит через начало координат, симметричен относительно начала координат и возрастает на всей области определения. График функции $y = -x^3$ получается путем симметричного отражения графика $y = x^3$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Точки $(x, y)$ исходного графика переходят в точки $(x, -y)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$, а точка $(-2, -8)$ — в $(-2, 8)$.
Ответ: График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола $y=x^3$, отраженная симметрично относительно оси Ox.

б) График функции $y = x^3 - 1$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = x^3$ перемещается в точку $(x, y - 1)$. Центр симметрии графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(0, -1)$.
Ответ: График функции $y = x^3 - 1$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 1 единицу вниз по оси Oy.

в) График функции $y = (x - 2)^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = x^3$ перемещается в точку $(x + 2, y)$. Центр симметрии графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(2, 0)$.
Ответ: График функции $y = (x - 2)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси Ox.

г) Для построения графика функции $y = (x - 2)^3 + 1$ используются два преобразования графика $y = x^3$. Сначала выполняется сдвиг на 2 единицы вправо по оси Ox (что дает график $y = (x - 2)^3$), а затем — сдвиг на 1 единицу вверх по оси Oy. В результате этих преобразований центр симметрии исходной кубической параболы, точка $(0, 0)$, перемещается в точку $(2, 1)$.
Ответ: График функции $y = (x - 2)^3 + 1$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.

д) Для построения графика функции $y = -x^4$ необходимо взять за основу график базовой функции $y = x^4$. Этот график симметричен относительно оси Oy, имеет вершину в точке $(0, 0)$, а его ветви направлены вверх. График функции $y = -x^4$ получается путем симметричного отражения графика $y = x^4$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Вершина останется в точке $(0, 0)$, но ветви нового графика будут направлены вниз.
Ответ: График функции $y = -x^4$ — это график функции $y=x^4$, отраженный симметрично относительно оси Ox.

е) График функции $y = x^4 - 1$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Вершина графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(0, -1)$.
Ответ: График функции $y = x^4 - 1$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 1 единицу вниз по оси Oy.

ж) График функции $y = (x - 3)^4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Вершина графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(3, 0)$. Ось симметрии графика смещается с $x=0$ на $x=3$.
Ответ: График функции $y = (x - 3)^4$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox.

з) Для построения графика функции $y = (x - 3)^4 + 2$ используются два преобразования графика $y = x^4$. Сначала выполняется сдвиг на 3 единицы вправо по оси Ox (что дает график $y = (x - 3)^4$), а затем — сдвиг на 2 единицы вверх по оси Oy. В результате этих преобразований вершина исходного графика, точка $(0, 0)$, перемещается в точку $(3, 2)$.
Ответ: График функции $y = (x - 3)^4 + 2$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

256. Сколько корней имеет уравнение:

а) $x^{10} = 2;$

б) $x^{10} = 0;$

в) $x^{10} = -3;$

г) $x^7 = 5;$

д) $x^7 = 0;$

е) $x^7 = -1?$

а)

Рассмотрим уравнение $x^{10} = 2$.
Показатель степени $n=10$ является четным числом, а правая часть уравнения $c=2$ — положительное число ($c > 0$).
Уравнение вида $x^n = c$, где $n$ — четное, а $c > 0$, всегда имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[n]{c}$ и $x_2 = -\sqrt[n]{c}$.
В данном случае это корни $x = \sqrt[10]{2}$ и $x = -\sqrt[10]{2}$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

б)

Рассмотрим уравнение $x^{10} = 0$.
Уравнение вида $x^n = 0$ при любом натуральном $n$ имеет только один корень.
Этим корнем является $x=0$, так как только ноль в любой степени равен нулю.

Ответ: 1.

в)

Рассмотрим уравнение $x^{10} = -3$.
Показатель степени $n=10$ — четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$.
Правая часть уравнения, $-3$, является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное число не может равняться отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0.

г)

Рассмотрим уравнение $x^7 = 5$.
Показатель степени $n=7$ является нечетным числом.
Уравнение вида $x^n = c$, где $n$ — нечетное, всегда имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[n]{c}$ для любого действительного числа $c$ (положительного, отрицательного или нуля).
В данном случае корень $x = \sqrt[7]{5}$.

Ответ: 1.

д)

Рассмотрим уравнение $x^7 = 0$.
Как и в пункте б), уравнение вида $x^n = 0$ имеет единственный корень $x=0$, так как только $0^7=0$.

Ответ: 1.

е)

Рассмотрим уравнение $x^7 = -1$.
Показатель степени $n=7$ — нечетное число, а правая часть $c=-1$ — отрицательное число.
Как и в пункте г), уравнение с нечетным показателем степени всегда имеет один действительный корень.
В данном случае корень равен $x = \sqrt[7]{-1}$, что равно $-1$.

Ответ: 1.

257. Найдите значение выражения:

a) $-0,5\sqrt[10]{1024}$;

б) $-\frac{2}{3}\sqrt[7]{-2187}$;

в) $1,5\sqrt[9]{512}$;

г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt[5]{5\frac{4}{9}}$;

д) $\sqrt[3]{-125} \cdot \sqrt[7]{0,1^7}$;

е) $\sqrt[4]{16^{-2}} \cdot \sqrt[3]{0,125^3}$.

а) Для нахождения значения выражения $-0,5\sqrt[10]{1024}$ сначала вычислим корень. Так как $2^{10} = 1024$, то $\sqrt[10]{1024} = 2$. Затем умножим полученное значение на коэффициент $-0,5$:
$-0,5 \cdot \sqrt[10]{1024} = -0,5 \cdot 2 = -1$.
Ответ: $-1$.

б) Рассмотрим выражение $-\frac{2}{3}\sqrt[7]{-2187}$. Поскольку показатель корня нечетный (7), можно извлекать его из отрицательного числа. Число $2187$ является седьмой степенью числа $3$, то есть $3^7 = 2187$. Следовательно, $(-3)^7 = -2187$.
$-\frac{2}{3} \cdot \sqrt[7]{-2187} = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt[7]{(-3)^7} = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2$.
Ответ: $2$.

в) Вычислим $1,5\sqrt[9]{512}$. Число $512$ - это $2$ в девятой степени: $2^9 = 512$. Поэтому корень девятой степени из $512$ равен $2$.
$1,5 \cdot \sqrt[9]{512} = 1,5 \cdot 2 = 3$.
Ответ: $3$.

г) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные, а затем извлечем корни.
$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$.
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9}$.
Теперь подставим их в исходное выражение и вычислим:
$\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} \cdot \sqrt{\frac{49}{9}} = \sqrt[5]{(\frac{3}{2})^5} \cdot \sqrt{(\frac{7}{3})^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

д) Вычислим каждый множитель по отдельности, используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n}=a$.
$\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$.
$\sqrt[7]{0,1^7} = 0,1$.
Перемножим результаты:
$-5 \cdot 0,1 = -0,5$.
Ответ: $-0,5$.

е) Упростим каждый множитель, используя свойства степеней и корней.
Первый множитель: $\sqrt[4]{16^{-2}} = (16^{-2})^{\frac{1}{4}} = 16^{-2 \cdot \frac{1}{4}} = 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.
Второй множитель: $\sqrt[3]{0,125^3} = 0,125$.
Перемножим полученные значения. Представим $0,125$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{8}$:
$\frac{1}{4} \cdot 0,125 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.