Номер 253, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

253. Найдите $n$, если известно, что график функции $y = x^n$ проходит через точку:

a) A(2; 8);

б) B(3,5; 12,25);

в) C(-3; 81);

г) D(-2; -32).

Чтобы найти значение $n$, нужно подставить координаты данной точки $(x; y)$ в уравнение функции $y = x^n$ и решить полученное уравнение относительно $n$.

а) Подставляем координаты точки $A(2; 8)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = 2$ и $y = 8$.
Получаем уравнение: $8 = 2^n$.
Так как $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$, то уравнение можно переписать в виде:
$2^3 = 2^n$
Отсюда следует, что $n = 3$.
Ответ: $n=3$.

б) Подставляем координаты точки $B(3,5; 12,25)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = 3,5$ и $y = 12,25$.
Получаем уравнение: $12,25 = (3,5)^n$.
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных или заметим, что $3,5^2 = 3,5 \cdot 3,5 = 12,25$.
Можно также использовать обыкновенные дроби: $x = 3,5 = \frac{7}{2}$ и $y = 12,25 = \frac{1225}{100} = \frac{49}{4}$.
Уравнение принимает вид: $\frac{49}{4} = (\frac{7}{2})^n$.
Так как $\frac{49}{4} = \frac{7^2}{2^2} = (\frac{7}{2})^2$, получаем:
$(\frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{2})^n$
Отсюда следует, что $n = 2$.
Ответ: $n=2$.

в) Подставляем координаты точки $C(-3; 81)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = -3$ и $y = 81$.
Получаем уравнение: $81 = (-3)^n$.
Известно, что $81 = 3^4$.
Поскольку результат ($81$) положителен, а основание степени ($-3$) отрицательно, показатель степени $n$ должен быть четным числом.
Проверим $n=4$: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.
Таким образом, уравнение можно записать как:
$(-3)^4 = (-3)^n$
Отсюда следует, что $n = 4$.
Ответ: $n=4$.

г) Подставляем координаты точки $D(-2; -32)$ в уравнение функции $y = x^n$.
Здесь $x = -2$ и $y = -32$.
Получаем уравнение: $-32 = (-2)^n$.
Известно, что $32 = 2^5$.
Поскольку результат ($-32$) отрицателен, а основание степени ($-2$) также отрицательно, показатель степени $n$ должен быть нечетным числом.
Проверим $n=5$: $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$.
Таким образом, уравнение можно записать как:
$(-2)^5 = (-2)^n$
Отсюда следует, что $n = 5$.
Ответ: $n=5$.