Номер 259, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

259. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $\sqrt[8]{x - 2}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{9 - x}{5}} $;

в) $\sqrt[3]{x + 5}$;

г) $\sqrt[8]{3a - 5}$;

д) $\sqrt[4]{-5y + 6}$;

е) $\sqrt[12]{\frac{6b - 9}{11}}$?

а) Выражение $\sqrt[8]{x - 2}$ является корнем четной степени (8), поэтому оно имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).
Составим и решим неравенство:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые больше или равны 2.
Ответ: при $x \in [2; +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt[4]{\frac{9 - x}{5}}$ является корнем четной степени (4). Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$\frac{9 - x}{5} \ge 0$
Знаменатель дроби (5) является положительным числом, поэтому знак всей дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:
$9 - x \ge 0$
$-x \ge -9$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 9$
Ответ: при $x \in (-\infty; 9]$.

в) Выражение $\sqrt[3]{x + 5}$ является корнем нечетной степени (3). Корень нечетной степени можно извлекать из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Выражение $x + 5$ определено для любого $x$.
Следовательно, данное выражение имеет смысл при любых значениях переменной $x$.
Ответ: при $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Выражение $\sqrt[8]{3a - 5}$ является корнем четной степени (8). Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$3a - 5 \ge 0$
$3a \ge 5$
$a \ge \frac{5}{3}$
Ответ: при $a \in [\frac{5}{3}; +\infty)$.

д) Выражение $\sqrt[4]{-5y + 6}$ является корнем четной степени (4). Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$-5y + 6 \ge 0$
$-5y \ge -6$
Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:
$y \le \frac{-6}{-5}$
$y \le \frac{6}{5}$
$y \le 1.2$
Ответ: при $y \in (-\infty; \frac{6}{5}]$.

е) Выражение $\sqrt[12]{\frac{6b - 9}{11}}$ является корнем четной степени (12). Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$\frac{6b - 9}{11} \ge 0$
Так как знаменатель 11 - положительное число, знак дроби зависит от знака числителя:
$6b - 9 \ge 0$
$6b \ge 9$
$b \ge \frac{9}{6}$
Сократим дробь:
$b \ge \frac{3}{2}$
$b \ge 1.5$
Ответ: при $b \in [\frac{3}{2}; +\infty)$.