Номер 258, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

258. Решите уравнение:

a) $\sqrt{x} = 0,2;$

б) $\sqrt[3]{y} = \frac{1}{2};$

в) $\sqrt[4]{a} = -1;$

г) $\sqrt[4]{b} = 2;$

д) $\sqrt[8]{x} = 1;$

е) $\sqrt[3]{y} = -2.$

а) Дано уравнение $\sqrt{x} = 0,2$. Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Так как $0,2$ — неотрицательное число, решение существует.
$(\sqrt{x})^2 = (0,2)^2$
$x = 0,04$
Проверка: $\sqrt{0,04} = 0,2$. Верно.
Ответ: $x = 0,04$.

б) Дано уравнение $\sqrt[3]{y} = \frac{1}{2}$. Чтобы найти $y$, необходимо возвести обе части уравнения в куб (третью степень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.
$(\sqrt[3]{y})^3 = (\frac{1}{2})^3$
$y = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$
Проверка: $\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$. Верно.
Ответ: $y = \frac{1}{8}$.

в) Дано уравнение $\sqrt[4]{a} = -1$. Арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) по определению не может быть отрицательным числом. То есть, для любого $a \ge 0$, значение $\sqrt[4]{a} \ge 0$. Так как правая часть уравнения равна $-1$, что является отрицательным числом, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: решений нет.

г) Дано уравнение $\sqrt[4]{b} = 2$. Чтобы найти $b$, необходимо возвести обе части уравнения в четвертую степень.
$(\sqrt[4]{b})^4 = 2^4$
$b = 16$
Проверка: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$. Верно.
Ответ: $b = 16$.

д) Дано уравнение $\sqrt[8]{x} = 1$. Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в восьмую степень.
$(\sqrt[8]{x})^8 = 1^8$
$x = 1$
Проверка: $\sqrt[8]{1} = 1$. Верно.
Ответ: $x = 1$.

е) Дано уравнение $\sqrt[3]{y} = -2$. Чтобы найти $y$, необходимо возвести обе части уравнения в куб. Корень нечетной степени может быть отрицательным числом.
$(\sqrt[3]{y})^3 = (-2)^3$
$y = -8$
Проверка: $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$. Верно.
Ответ: $y = -8$.