Номер 263, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

263. Пользуясь графиками функций $y = x$, $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt[3]{x}$, решите уравнение и неравенства:

a) $\sqrt{x} = x$, $\sqrt{x} < x$, $\sqrt{x} > x$;

б) $\sqrt[3]{x} = x$, $\sqrt[3]{x} < x$, $\sqrt[3]{x} > x$.

а) Для решения уравнения и неравенств воспользуемся графиками функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$.

График функции $y=x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в I координатной четверти, начинающаяся в точке $(0,0)$. Область определения функции: $x \ge 0$.

Построим эти графики в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в двух точках: $(0,0)$ и $(1,1)$.

Решение уравнения $\sqrt{x} = x$:

Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$. Из графиков видно, что это $x=0$ и $x=1$.
Ответ: $x=0; x=1$.

Решение неравенства $\sqrt{x} < x$:

Решением неравенства является множество значений $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x}$ расположен ниже графика функции $y = x$. Из графиков видно, что это происходит на интервале, где $x$ больше абсциссы второй точки пересечения.
Ответ: $x > 1$ или $x \in (1; +\infty)$.

Решение неравенства $\sqrt{x} > x$:

Решением неравенства является множество значений $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y = x$. Из графиков видно, что это происходит на интервале между точками пересечения.
Ответ: $0 < x < 1$ или $x \in (0; 1)$.

б) Для решения уравнения и неравенств воспользуемся графиками функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x$.

График функции $y=x$ — это прямая, проходящая через начало координат.
График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях, симметричная относительно начала координат. Функция определена для всех действительных чисел $x$.

Построим эти графики в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в трех точках: $(-1,-1)$, $(0,0)$ и $(1,1)$.

Решение уравнения $\sqrt[3]{x} = x$:

Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x$. Из графиков видно, что это $x=-1$, $x=0$ и $x=1$.
Ответ: $x=-1; x=0; x=1$.

Решение неравенства $\sqrt[3]{x} < x$:

Решением неравенства является множество значений $x$, при которых график функции $y = \sqrt[3]{x}$ расположен ниже графика функции $y = x$. Из графиков видно, что это происходит на двух интервалах: между точками пересечения $x=-1$ и $x=0$, а также при $x$ больше абсциссы третьей точки пересечения.
Ответ: $-1 < x < 0$ и $x > 1$ или $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

Решение неравенства $\sqrt[3]{x} > x$:

Решением неравенства является множество значений $x$, при которых график функции $y = \sqrt[3]{x}$ расположен выше графика функции $y = x$. Из графиков видно, что это происходит на двух интервалах: при $x < -1$, а также между точками пересечения $x=0$ и $x=1$.
Ответ: $x < -1$ и $0 < x < 1$ или $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.