Номер 267, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

267. Решите уравнение:

а) $(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36;$

б) $\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0;$

в) $9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1;$

г) $\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4.$

а) $(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36$

Раскроем скобки. В первом произведении используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(6^2 - x^2) - (x \cdot x - 11 \cdot x) = 36$
$36 - x^2 - x^2 + 11x = 36$

Приведем подобные слагаемые:
$-2x^2 + 11x + 36 = 36$

Вычтем 36 из обеих частей уравнения:
$-2x^2 + 11x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-2x + 11) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
или
$-2x + 11 = 0 \implies 2x = 11 \implies x_2 = \frac{11}{2} = 5.5$

Ответ: $0; 5.5$.

б) $\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю, который равен $11 \cdot 5 = 55$. Умножим обе части уравнения на 55:
$55 \cdot \frac{1 - 3y}{11} - 55 \cdot \frac{3 - y}{5} = 55 \cdot 0$
$5(1 - 3y) - 11(3 - y) = 0$

Раскроем скобки:
$5 - 15y - 33 + 11y = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$-4y - 28 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:
$-4y = 28$

Найдем $y$:
$y = \frac{28}{-4} = -7$

Ответ: $-7$.

в) $9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1$

Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4 \cdot 9x^2 - 4 \cdot \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 4 \cdot 1$
$36x^2 - (12x - 11)(3x + 8) = 4$

Раскроем скобки в произведении многочленов:
$36x^2 - (12x \cdot 3x + 12x \cdot 8 - 11 \cdot 3x - 11 \cdot 8) = 4$
$36x^2 - (36x^2 + 96x - 33x - 88) = 4$
$36x^2 - (36x^2 + 63x - 88) = 4$

Раскроем оставшиеся скобки, меняя знаки на противоположные:
$36x^2 - 36x^2 - 63x + 88 = 4$

Упростим уравнение:
$-63x + 88 = 4$

Перенесем 88 в правую часть:
$-63x = 4 - 88$
$-63x = -84$

Найдем $x$:
$x = \frac{-84}{-63} = \frac{84}{63}$

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 21:
$x = \frac{4 \cdot 21}{3 \cdot 21} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

г) $\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 24:
$24 \cdot \frac{(y + 1)^2}{12} - 24 \cdot \frac{1 - y^2}{24} = 24 \cdot 4$
$2(y + 1)^2 - (1 - y^2) = 96$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для первого слагаемого:
$2(y^2 + 2y + 1) - 1 + y^2 = 96$

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:
$2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2 = 96$
$3y^2 + 4y + 1 = 96$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2+by+c=0$:
$3y^2 + 4y + 1 - 96 = 0$
$3y^2 + 4y - 95 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=3, b=4, c=-95$
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-95) = 16 + 12 \cdot 95 = 16 + 1140 = 1156$

Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
$y_1 = \frac{-4 + 34}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$
$y_2 = \frac{-4 - 34}{2 \cdot 3} = \frac{-38}{6} = -\frac{19}{3}$

Ответ: $5; -\frac{19}{3}$.