Номер 272, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

272. Решите уравнение:

а) $y^3 - 6y = 0;$

б) $6x^4 + 3,6x^2 = 0;$

в) $x^3 + 3x = 3,5x^2;$

г) $x^3 - 0,1x = 0,3x^2;$

д) $9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0;$

е) $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0;$

ж) $p^3 - p^2 = p - 1;$

з) $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x.$

а) $y^3 - 6y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y^2 - 6) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$y = 0$ или $y^2 - 6 = 0$
Решим второе уравнение:
$y^2 = 6$
$y = \sqrt{6}$ или $y = -\sqrt{6}$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $y_1 = 0, y_2 = \sqrt{6}, y_3 = -\sqrt{6}$.

б) $6x^4 + 3,6x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $6x^2$ за скобки:
$6x^2(x^2 + 0,6) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$6x^2 = 0$ или $x^2 + 0,6 = 0$
Решим первое уравнение:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
Решим второе уравнение:
$x^2 = -0,6$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x = 0$.

в) $x^3 + 3x = 3,5x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 - 3,5x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3,5x + 3) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^2 - 3,5x + 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 3,5x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12,25 - 12 = 0,25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3,5 \pm \sqrt{0,25}}{2} = \frac{3,5 \pm 0,5}{2}$
$x_1 = \frac{3,5 + 0,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{3,5 - 0,5}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1,5, x_3 = 2$.

г) $x^3 - 0,1x = 0,3x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 - 0,3x^2 - 0,1x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,3x - 0,1) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$. Умножим его на 10 для удобства: $10x^2 - 3x - 1 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 \pm 7}{20}$
$x_1 = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = 0,5$
$x_2 = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -0,2$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -0,2, x_2 = 0, x_3 = 0,5$.

д) $9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$(9x^3 - 18x^2) + (-x + 2) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$9x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$:
$(x - 2)(9x^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
или
$9x^2 - 1 = 0 \implies 9x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{9} \implies x = \pm\frac{1}{3}$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = \frac{1}{3}, x_3 = 2$.

е) $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$
Отсюда $y = 0$ или $y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$.
Решим кубическое уравнение, сгруппировав его члены:
$(y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0$
$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$
$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$
Отсюда $y - 1 = 0 \implies y = 1$ или $y^2 - 16 = 0 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm4$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $y_1 = -4, y_2 = 0, y_3 = 1, y_4 = 4$.

ж) $p^3 - p^2 = p - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$p^3 - p^2 - p + 1 = 0$
Сгруппируем члены:
$(p^3 - p^2) - (p - 1) = 0$
$p^2(p - 1) - 1(p - 1) = 0$
$(p - 1)(p^2 - 1) = 0$
Отсюда $p - 1 = 0 \implies p = 1$ или $p^2 - 1 = 0 \implies p^2 = 1 \implies p = \pm1$.
Корнями являются $p=1$ и $p=-1$. Обратите внимание, что $p=1$ является корнем кратности 2.
Ответ: $p_1 = -1, p_2 = 1$.

з) $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$:
$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.
Решим кубическое уравнение, сгруппировав его члены:
$(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$
$x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(x^2 - 1) = 0$
Отсюда $x - 3 = 0 \implies x = 3$ или $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm1$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1, x_4 = 3$.