Номер 275, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

275. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (Oy) и пересечение с осью абсцисс (Ox).

Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Точка пересечения графика функции с осью ординат имеет абсциссу $x = 0$. Чтобы найти соответствующую ординату $y$, подставим это значение в уравнение функции:

$y = (0)^3 - 6(0)^2 + 11(0) - 6$

$y = 0 - 0 + 0 - 6 = -6$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -6)$.

Ответ: $(0; -6)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Точки пересечения графика с осью абсцисс имеют ординату $y = 0$. Для нахождения абсцисс этих точек необходимо решить уравнение:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Для его решения попробуем найти целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (в данном случае, числа -6). Делители числа -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Выполним проверку для $x = 1$:

$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 - 12 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x_1 = 1$ — первый корень уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ делится на двучлен $(x - 1)$ без остатка.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен на $(x - 1)$. Это можно сделать, например, по схеме Горнера или делением "уголком". В результате деления получим квадратный трехчлен:

$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Теперь решим получившееся квадратное уравнение, чтобы найти остальные корни:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

$x_2 = 2$ и $x_3 = 3$

Таким образом, график функции пересекает ось Ox в трех точках, абсциссы которых равны 1, 2 и 3.

Координаты точек пересечения с осью Ox: $(1; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.