Номер 276, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

276. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0;$

б) $(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t);$

в) $(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40;$

г) $(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0.$

а) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = 2x^2 + 3$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$y^2 - 12y + 11 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 11. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = 1$, то:

$2x^2 + 3 = 1$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

2. Если $y = 11$, то:

$2x^2 + 3 = 11$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

б) $(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(t^2 - 2t)^2 - 2(t^2 - 2t) - 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = t^2 - 2t$. Уравнение преобразуется к виду:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Используя теорему Виета, найдем корни: $y_1 \cdot y_2 = -3$ и $y_1 + y_2 = 2$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $y = 3$, то:

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$, $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

2. Если $y = -1$, то:

$t^2 - 2t = -1$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(t - 1)^2 = 0$.

Отсюда $t - 1 = 0$, то есть $t_3 = 1$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.

Ответ: $-1; 1; 3$.

в) $(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x^2 + x$. Введем новую переменную $y = x^2 + x$.

Подставив $y$ в уравнение, получим:

$(y - 1)(y + 2) = 40$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 2y - y - 2 = 40$

$y^2 + y - 42 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$, $y_1 \cdot y_2 = -42$. Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Теперь сделаем обратную замену.

1. Если $y = 6$, то:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

2. Если $y = -7$, то:

$x^2 + x = -7$

$x^2 + x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.

Ответ: $-3; 2$.

г) $(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0$

Введем замену переменной для повторяющегося выражения $2x^2 + x$. Пусть $y = 2x^2 + x$.

Уравнение примет вид:

$(y - 1)(y - 4) + 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 4y - y + 4 + 2 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 5$, $y_1 \cdot y_2 = 6$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

1. Если $y = 2$, то:

$2x^2 + x = 2$

$2x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.

Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$.

То есть, $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$.

2. Если $y = 3$, то:

$2x^2 + x = 3$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.

То есть, $x_3 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$ и $x_4 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-\frac{3}{2}; \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}; 1$.