Номер 282, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

282. Решите уравнение:

а) $(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4(x^2 - 11) = 0;$

б) $3x^2(x - 1)(x + 1) - 10x^2 + 4 = 0.$

а) $(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4(x^2 - 11) = 0$

Сначала преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первого слагаемого:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение и раскроем вторые скобки:

$(x^4 - 1) - 4(x^2 - 11) = 0$

$x^4 - 1 - 4x^2 + 44 = 0$

Приведем подобные члены:

$x^4 - 4x^2 + 43 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 4y + 43 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 43 = 16 - 172 = -156$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение относительно $y$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого действительного значения $y=x^2$, которое удовлетворяло бы уравнению. Следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

б) $3x^2(x - 1)(x + 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Сначала упростим выражение $(x - 1)(x + 1)$, используя формулу разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

Подставим это в исходное уравнение:

$3x^2(x^2 - 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Раскроем скобки:

$3x^4 - 3x^2 - 10x^2 + 4 = 0$

Приведем подобные члены:

$3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2 - 13y + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 11}{6}$

$y_1 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$y_2 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба значения $y$ положительны, поэтому они являются допустимыми решениями для $y=x^2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. При $y = 4$ имеем $x^2 = 4$, откуда $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_{1,2} = \pm 2$.

2. При $y = \frac{1}{3}$ имеем $x^2 = \frac{1}{3}$, откуда $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, то есть $x_{3,4} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.