Номер 285, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

285. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $3x^2 - 25x - 28$;

б) $2x^2 + 13x - 7$.

а) $3x^2 - 25x - 28$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала решим уравнение $3x^2 - 25x - 28 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 625 + 336 = 961$.

Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{25 + 31}{6} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-25) - \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{25 - 31}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:

$3x^2 - 25x - 28 = 3\left(x - \frac{28}{3}\right)(x - (-1)) = 3\left(x - \frac{28}{3}\right)(x + 1)$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $3$ в первую скобку:

$3\left(x - \frac{28}{3}\right) = 3 \cdot x - 3 \cdot \frac{28}{3} = 3x - 28$.

Таким образом, разложение на множители имеет вид: $(3x - 28)(x + 1)$.

Ответ: $(3x - 28)(x + 1)$.

б) $2x^2 + 13x - 7$

Для разложения на множители решим квадратное уравнение $2x^2 + 13x - 7 = 0$, чтобы найти его корни.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 + 13x - 7 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - (-7)) = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 7)$.

Внесем множитель $2$ в первую скобку:

$2\left(x - \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2x - 1$.

В итоге получаем разложение: $(2x - 1)(x + 7)$.

Ответ: $(2x - 1)(x + 7)$.