Номер 290, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

290. Решите уравнение:

а) $ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1; $

б) $ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $x^2 + x - 6$. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$. Это означает, что ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + 1 = 0 $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-2)(x+3)$:

$ \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \frac{10(x-2)}{(x-2)(x+3)} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)} = 0 $

Запишем числитель и приравняем его к нулю:

$ 2(x+3) - 10(x-2) - 50 + (x-2)(x+3) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 2x + 6 - 10x + 20 - 50 + x^2 + 3x - 2x - 6 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ x^2 + (2x - 10x + 3x - 2x) + (6 + 20 - 50 - 6) = 0 $

$ x^2 - 7x - 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -3$).

Корень $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -3$ является посторонним корнем.

Ответ: 10

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

$x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$

Преобразуем знаменатель последней дроби: $8x - x^2 - 7 = -(x^2 - 8x + 7)$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 7=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Тогда $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$. Следовательно, $8x - x^2 - 7 = -(x-1)(x-7)$.

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 7$.

Преобразуем последнюю дробь в уравнении:

$ - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = - \frac{30-12x}{-(x-1)(x-7)} = \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} $

Подставим преобразованную дробь в уравнение:

$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-7)$:

$ \frac{(x+5)(x-7)}{(x-1)(x-7)} + \frac{(2x-5)(x-1)}{(x-1)(x-7)} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (x+5)(x-7) + (2x-5)(x-1) + 30-12x = 0 $

Раскроем скобки и упростим:

$ (x^2 - 7x + 5x - 35) + (2x^2 - 2x - 5x + 5) + 30 - 12x = 0 $

$ x^2 - 2x - 35 + 2x^2 - 7x + 5 + 30 - 12x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2 + 2x^2) + (-2x - 7x - 12x) + (-35 + 5 + 30) = 0 $

$ 3x^2 - 21x = 0 $

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$ 3x(x-7) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ 3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 $

$ x-7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 7$).

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = 7$ является посторонним корнем.

Ответ: 0