Номер 296, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

296. При каких значениях a:

а) равны значения выражений

$\frac{5a + 7 - 28a^2}{20a}$ и $a^2$;

б) являются противоположными числами значения выражений

$\frac{2 - 18a^2 - a}{3a}$ и $3a^2??$

а) Чтобы значения выражений были равны, необходимо приравнять их и решить получившееся уравнение.

$\frac{5a + 7 - 28a^2}{20a} = a^2$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $20a \neq 0$, что означает $a \neq 0$.

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на $20a$, чтобы избавиться от дроби:

$5a + 7 - 28a^2 = a^2 \cdot 20a$

$5a + 7 - 28a^2 = 20a^3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид многочлена:

$20a^3 + 28a^2 - 5a - 7 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:

$(20a^3 + 28a^2) - (5a + 7) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4a^2(5a + 7) - 1(5a + 7) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(5a + 7)$:

$(4a^2 - 1)(5a + 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $4a^2 - 1 = 0 \implies 4a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда получаем два корня: $a = \frac{1}{2} = 0,5$ и $a = -\frac{1}{2} = -0,5$.

2) $5a + 7 = 0 \implies 5a = -7$. Отсюда $a = -\frac{7}{5} = -1,4$.

Все полученные корни $a_1 = 0,5$, $a_2 = -0,5$, $a_3 = -1,4$ удовлетворяют условию ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: -1,4; -0,5; 0,5.

б) Чтобы значения выражений были противоположными числами, их сумма должна равняться нулю. Составим и решим соответствующее уравнение.

$\frac{2 - 18a^2 - a}{3a} + 3a^2 = 0$

ОДЗ: знаменатель $3a \neq 0$, следовательно, $a \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $3a$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 - 18a^2 - a + 3a^2 \cdot 3a = 0$

$2 - 18a^2 - a + 9a^3 = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде:

$9a^3 - 18a^2 - a + 2 = 0$

Применим метод группировки:

$(9a^3 - 18a^2) - (a - 2) = 0$

Вынесем общие множители:

$9a^2(a - 2) - 1(a - 2) = 0$

$(9a^2 - 1)(a - 2) = 0$

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1) $9a^2 - 1 = 0 \implies 9a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{9}$. Отсюда два корня: $a = \frac{1}{3}$ и $a = -\frac{1}{3}$.

2) $a - 2 = 0 \implies a = 2$.

Все найденные корни $a_1 = \frac{1}{3}$, $a_2 = -\frac{1}{3}$, $a_3 = 2$ удовлетворяют условию ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 2$.