Номер 298, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

298. Найдите корни уравнения:

а) $\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 + 16\left(\frac{x-4}{x+2}\right)^2 = 17$;

б) $\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 + 18\left(\frac{x-3}{x+1}\right)^2 = 11$.

а) $(\frac{x+2}{x-4})^2 + 16(\frac{x-4}{x+2})^2 = 17$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Данное уравнение является биквадратным относительно дроби. Чтобы его решить, введем новую переменную. Пусть $y = (\frac{x+2}{x-4})^2$. Тогда выражение $(\frac{x-4}{x+2})^2$ будет равно $\frac{1}{y}$. Заметим, что $y$ не может быть отрицательным, так как является квадратом. Также $y \neq 0$, иначе $x+2=0$, что противоречит ОДЗ для второго слагаемого.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y + \frac{16}{y} = 17$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$y^2 + 16 = 17y$
$y^2 - 17y + 16 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Следовательно, корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = 16$

Оба корня положительны и подходят. Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $y = 1$
$(\frac{x+2}{x-4})^2 = 1$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $\frac{x+2}{x-4} = 1 \implies x+2 = x-4 \implies 2 = -4$. Решений нет.
2) $\frac{x+2}{x-4} = -1 \implies x+2 = -(x-4) \implies x+2 = -x+4 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = 16$
$(\frac{x+2}{x-4})^2 = 16$
Это уравнение также эквивалентно двум уравнениям:
1) $\frac{x+2}{x-4} = 4 \implies x+2 = 4(x-4) \implies x+2 = 4x-16 \implies 18 = 3x \implies x = 6$.
Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.
2) $\frac{x+2}{x-4} = -4 \implies x+2 = -4(x-4) \implies x+2 = -4x+16 \implies 5x = 14 \implies x = \frac{14}{5}$.
Корень $x = \frac{14}{5}$ (или 2,8) удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $1; 6; \frac{14}{5}$.

б) $(\frac{x+1}{x-3})^2 + 18(\frac{x-3}{x+1})^2 = 11$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Аналогично предыдущему пункту, введем замену. Пусть $y = (\frac{x+1}{x-3})^2$. Тогда $(\frac{x-3}{x+1})^2 = \frac{1}{y}$. Учитывая, что $y>0$, подставляем в уравнение:
$y + \frac{18}{y} = 11$

Умножим обе части на $y$:
$y^2 + 18 = 11y$
$y^2 - 11y + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, произведение равно 18. Корни:
$y_1 = 2$
$y_2 = 9$

Оба корня подходят. Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 2$
$(\frac{x+1}{x-3})^2 = 2$
1) $\frac{x+1}{x-3} = \sqrt{2} \implies x+1 = \sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = x\sqrt{2}-3\sqrt{2} \implies 1+3\sqrt{2} = x(\sqrt{2}-1) \implies x = \frac{1+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{(1+3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1+6+3\sqrt{2}}{2-1} = 7+4\sqrt{2}$.
2) $\frac{x+1}{x-3} = -\sqrt{2} \implies x+1 = -\sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = -x\sqrt{2}+3\sqrt{2} \implies x(1+\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-1 \implies x = \frac{3\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)} = \frac{6-3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{2-1} = 7-4\sqrt{2}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = 9$
$(\frac{x+1}{x-3})^2 = 9$
1) $\frac{x+1}{x-3} = 3 \implies x+1 = 3(x-3) \implies x+1 = 3x-9 \implies 10 = 2x \implies x=5$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
2) $\frac{x+1}{x-3} = -3 \implies x+1 = -3(x-3) \implies x+1 = -3x+9 \implies 4x = 8 \implies x=2$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $2; 5; 7-4\sqrt{2}; 7+4\sqrt{2}$.