Номер 291, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

291. Найдите корни уравнения:

а) $ \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3}; $

б) $ \frac{5x - 1}{x + 7} - \frac{2x + 2}{x - 3} + \frac{63}{x^2 + 4x - 21} = 0; $

В) $ \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 - 4} - \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Разложим на множители знаменатель в правой части: $x^2 + 2x - 3$. Корни этого квадратного трехчлена $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$. Ограничения на ОДЗ те же: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 3)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$(3x - 2)(x + 3) - (2x + 3)(x - 1) = 12x + 4$

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

$(3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x + 4$

$(3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3) = 12x + 4$

$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x + 4$

$x^2 + 6x - 3 = 12x + 4$

4. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

5. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно -7. Легко подобрать корни:

$x_1 = 7$, $x_2 = -1$

6. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$). Оба корня, 7 и -1, входят в ОДЗ.

Ответ: -1; 7.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{5x - 1}{x + 7} - \frac{2x + 2}{x - 3} + \frac{63}{x^2 + 4x - 21} = 0 $

1. Найдем ОДЗ:

$x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $x^2 + 4x - 21$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$. Значит, $x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)$. Ограничения те же: $x \neq 3$ и $x \neq -7$.

2. Общий знаменатель — $(x + 7)(x - 3)$. Умножим уравнение на него:

$(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0$

3. Раскроем скобки и упростим:

$(5x^2 - 15x - x + 3) - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$

$(5x^2 - 16x + 3) - (2x^2 + 16x + 14) + 63 = 0$

$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$

$3x^2 - 32x + 52 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 - 624 = 400 = 20^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -7$). Оба корня, $8\frac{2}{3}$ и 2, удовлетворяют условиям.

Ответ: 2; $8\frac{2}{3}$.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 - 4} - \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8} $

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и общий знаменатель:

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x^2 - 4)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)^2$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{x}{(x + 2)^2} = \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{16}{(x - 2)(x + 2)^2} $

3. Общий знаменатель — $(x - 2)(x + 2)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$x(x - 2) = 4(x + 2) - 16$

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - 2x = 4x + 8 - 16$

$x^2 - 2x = 4x - 8$

$x^2 - 2x - 4x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

5. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение равно 8.

$x_1 = 4$, $x_2 = 2$

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения только один корень.

Ответ: 4.