Номер 287, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

287. Два сварщика, работая вместе, могут выполнить задание за 30 ч. За сколько часов сможет выполнить это задание каждый сварщик, если известно, что первому на выполнение всей работы потребуется времени на 11 ч больше, чем второму?

Примем весь объем работы за 1 (единицу).

Пусть $x$ часов — это время, за которое второй сварщик может выполнить всю работу самостоятельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, первому сварщику требуется на 11 часов больше, чем второму. Значит, время выполнения работы первым сварщиком составляет $(x + 11)$ часов. Его производительность равна $\frac{1}{x+11}$.

Когда сварщики работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна:$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x+11} + \frac{1}{x}$.

Известно, что, работая вместе, они выполняют всю работу за 30 часов. Следовательно, их совместная производительность также равна $\frac{1}{30}$.

Приравняем выражения для совместной производительности и получим уравнение:

$\frac{1}{x+11} + \frac{1}{x} = \frac{1}{30}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{x + (x+11)}{x(x+11)} = \frac{1}{30}$

$\frac{2x+11}{x^2+11x} = \frac{1}{30}$

Используя свойство пропорции (умножение крест-накрест), получим:

$30(2x+11) = 1(x^2+11x)$

$60x + 330 = x^2 + 11x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 11x - 60x - 330 = 0$

$x^2 - 49x - 330 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-330) = 2401 + 1320 = 3721$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-49) \pm \sqrt{3721}}{2 \cdot 1} = \frac{49 \pm 61}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{49 + 61}{2} = \frac{110}{2} = 55$

$x_2 = \frac{49 - 61}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, время, за которое второй сварщик выполнит работу, равно 55 часов.

Теперь найдем время для первого сварщика:

$x + 11 = 55 + 11 = 66$ часов.

Ответ: первый сварщик сможет выполнить задание за 66 часов, а второй — за 55 часов.