Номер 293, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

293. Найдите корни уравнения:

a) $ \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9} $

б) $ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21} $

а) Дано уравнение: $\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-7 \ne 0 \Rightarrow x \ne 7$

$x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$

$x-10 \ne 0 \Rightarrow x \ne 10$

$x-9 \ne 0 \Rightarrow x \ne 9$

Приведем дроби в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю:

$\frac{(x-1) - (x-7)}{(x-7)(x-1)} = \frac{(x-9) - (x-10)}{(x-10)(x-9)}$

Раскроем скобки в числителях и знаменателях:

$\frac{x-1-x+7}{x^2 - x - 7x + 7} = \frac{x-9-x+10}{x^2 - 9x - 10x + 90}$

Упростим выражения:

$\frac{6}{x^2 - 8x + 7} = \frac{1}{x^2 - 19x + 90}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$6(x^2 - 19x + 90) = 1(x^2 - 8x + 7)$

$6x^2 - 114x + 540 = x^2 - 8x + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$6x^2 - x^2 - 114x + 8x + 540 - 7 = 0$

$5x^2 - 106x + 533 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-106)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 533 = 11236 - 10660 = 576$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{106 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13$

$x_2 = \frac{106 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{82}{10} = 8.2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $13$; $8.2$.

б) Дано уравнение: $\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x+3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$

$x+9 \ne 0 \Rightarrow x \ne -9$

$x+5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$

$x+21 \ne 0 \Rightarrow x \ne -21$

Приведем дроби в обеих частях уравнения к общему знаменателю:

$\frac{(x+9) - (x+3)}{(x+3)(x+9)} = \frac{(x+21) - (x+5)}{(x+5)(x+21)}$

Раскроем скобки и упростим:

$\frac{x+9-x-3}{x^2 + 9x + 3x + 27} = \frac{x+21-x-5}{x^2 + 21x + 5x + 105}$

$\frac{6}{x^2 + 12x + 27} = \frac{16}{x^2 + 26x + 105}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{3}{x^2 + 12x + 27} = \frac{8}{x^2 + 26x + 105}$

Применим правило пропорции:

$3(x^2 + 26x + 105) = 8(x^2 + 12x + 27)$

$3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = 8x^2 - 3x^2 + 96x - 78x + 216 - 315$

$5x^2 + 18x - 99 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-99) = 324 + 1980 = 2304$

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-18 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{-18 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-66}{10} = -6.6$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3$; $-6.6$.