Номер 299, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

299. (Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, которая в 13 раз меньше суммы кубов этих чисел?

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

2) Решите уравнение, используя введение новой переменной.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

В задаче требуется найти положительное число. Обозначим это число переменной $x$, где $x > 0$.

Числом, обратным к $x$, является $\frac{1}{x}$.

Сумма этого числа с ему обратным равна: $x + \frac{1}{x}$.

Сумма кубов этих чисел равна: $x^3 + \left(\frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3}$.

По условию, первая сумма в 13 раз меньше второй. Это равносильно тому, что вторая сумма в 13 раз больше первой. Таким образом, сравниваются выражения $x + \frac{1}{x}$ и $x^3 + \frac{1}{x^3}$.

Составим уравнение на основе этого условия:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right)$

Ответ: Сравниваются выражения $x + \frac{1}{x}$ и $x^3 + \frac{1}{x^3}$. Уравнение: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13\left(x + \frac{1}{x}\right)$.

2) Решите уравнение, используя введение новой переменной.

Для решения данного уравнения удобно ввести замену. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Выразим левую часть уравнения, $x^3 + \frac{1}{x^3}$, через новую переменную $t$. Используем тождество суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1\right)$.

Также выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$:
$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в выражение для суммы кубов:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = t \cdot ((t^2 - 2) - 1) = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$t^3 - 3t = 13t$.

Решим это уравнение относительно $t$:
$t^3 - 3t - 13t = 0$
$t^3 - 16t = 0$
$t(t^2 - 16) = 0$
$t(t-4)(t+4) = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

Ответ: Вспомогательная переменная $t = x + \frac{1}{x}$. Уравнение относительно $t$: $t^3 - 16t = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$. Уравнение для нахождения $x$ имеет вид $x + \frac{1}{x} = t$. Умножив на $x$ (где $x \neq 0$), получим квадратное уравнение: $x^2 - tx + 1 = 0$.

Случай 1: $t = 0$.
Уравнение принимает вид $x^2 + 1 = 0$, или $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел это уравнение корней не имеет.

Случай 2: $t = 4$.
Уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Случай 3: $t = -4$.
Уравнение: $x^2 - (-4)x + 1 = 0$, то есть $x^2 + 4x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем еще два корня: $x_3 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_4 = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: При $t=0$ действительных корней нет. При $t=4$ корни $x=2+\sqrt{3}$ и $x=2-\sqrt{3}$. При $t=-4$ корни $x=-2+\sqrt{3}$ и $x=-2-\sqrt{3}$.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

Согласно условию, искомое число $x$ должно быть положительным, то есть $x > 0$. Проверим каждый из четырех найденных корней.

Корень $x = 2 + \sqrt{3}$ является положительным, так как это сумма двух положительных чисел. Этот корень подходит.

Для корня $x = 2 - \sqrt{3}$ сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Поскольку $2 = \sqrt{4}$ и $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$. Следовательно, разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Этот корень также подходит.

Для корня $x = -2 + \sqrt{3}$ имеем $2 > \sqrt{3}$, поэтому $-2 < -\sqrt{3}$, и $-2 + \sqrt{3} < 0$. Этот корень является отрицательным и не подходит.

Корень $x = -2 - \sqrt{3}$ очевидно отрицательный, так как является суммой двух отрицательных чисел. Этот корень не подходит.

Таким образом, мы нашли два положительных числа, которые удовлетворяют условию задачи. Это означает, что такое число существует, и главный вопрос задачи получает утвердительный ответ.

Ответ: Искомые положительные числа: $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$.