Номер 302, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

302. Постройте график функции $y = x^2 - 3$. Укажите промежутки, в которых функция принимает:

a) положительные значения;

б) отрицательные значения.

Для построения графика функции $y = x^2 - 3$ выполним следующие шаги.

1. Определение вида графика.
Функция $y = x^2 - 3$ является квадратичной. Её график — парабола. График можно получить из графика функции $y = x^2$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение вершины параболы.
Координаты вершины $(x_v, y_v)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формуле $x_v = -b/(2a)$. В нашем случае $a=1, b=0, c=-3$.
$x_v = -0 / (2 \cdot 1) = 0$.
Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:
$y_v = 0^2 - 3 = -3$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат (нулей функции).
Пересечение с осью Oy: При $x=0$, $y = 0^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
Пересечение с осью Ox: При $y=0$, получаем уравнение:
$x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $( -1.73, 0)$ и $(1.73, 0)$).

4. Построение таблицы значений и графика.
Составим таблицу для нескольких значений $x$:

На основе этих точек строим параболу с вершиной в $(0, -3)$, проходящую через вычисленные точки.

Теперь на основе анализа графика и решения неравенств определим промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

а) положительные значения
Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда её график расположен выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее точки $x = -\sqrt{3}$ и правее точки $x = \sqrt{3}$.
Решим неравенство $x^2 - 3 > 0$:
$x^2 > 3$
$|x| > \sqrt{3}$
Это означает, что $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; \infty)$.

б) отрицательные значения
Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда её график расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.
Решим неравенство $x^2 - 3 < 0$:
$x^2 < 3$
$|x| < \sqrt{3}$
Это означает, что $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.