Номер 2, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Как найти степень целого уравнения?

Чтобы найти степень целого уравнения, необходимо определить наибольший показатель степени переменной (или переменных) после того, как уравнение приведено к стандартному виду. Целым называется уравнение, в котором нет деления на переменную.

Определение

Степенью целого уравнения, приведенного к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен, называется степень этого многочлена. Степень многочлена, в свою очередь, — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов (слагаемых). Степень одночлена — это показатель степени его переменной.

Ответ: Степень целого уравнения – это наибольший показатель степени переменной в этом уравнении, после приведения его к стандартному виду $P(x) = 0$.

Алгоритм нахождения степени

1. Перенесите все члены уравнения в одну часть (обычно в левую), чтобы в другой части остался ноль. Уравнение примет вид $P(\text{переменные}) = 0$.
2. Раскройте все скобки и приведите подобные слагаемые в получившемся выражении. Это самый важный шаг, так как старшие степени могут сократиться.
3. Найдите член с наибольшим показателем степени. Этот показатель и будет степенью уравнения.

Пример: Найти степень уравнения $(x^3 + 2)^2 - x^6 = 4x^3 - 8$.

1. Перенесем все в левую часть:
$(x^3 + 2)^2 - x^6 - 4x^3 + 8 = 0$

2. Раскроем скобки и упростим. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 2 + 2^2 - x^6 - 4x^3 + 8 = 0$
$x^6 + 4x^3 + 4 - x^6 - 4x^3 + 8 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:
$(x^6 - x^6) + (4x^3 - 4x^3) + (4 + 8) = 0$
$0 + 0 + 12 = 0$
$12 = 0$

3. В результате упрощения все переменные сократились. Уравнение не имеет решений, и говорить о его степени в классическом понимании некорректно. Некоторые математики считают степень такого тождества равной $-\infty$ или неопределенной. Однако, если бы в результате осталось, например, $2x^2 + 5 = 0$, то степенью была бы 2.

Ответ: Для определения степени необходимо полностью упростить уравнение. Если переменные сокращаются, степень не определена; в противном случае она равна наибольшему показателю степени оставшейся переменной.

Уравнения с несколькими переменными

Если уравнение содержит несколько переменных (например, $x$ и $y$), то степенью каждого члена (одночлена) считается сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Степенью всего уравнения будет наибольшая из степеней его членов.

Пример: Найти степень уравнения $x^3y^2 + 5x^4 - 2y^5 = 10$.

Уравнение уже в упрощенном виде $x^3y^2 + 5x^4 - 2y^5 - 10 = 0$.
Найдем степени его членов:

• Степень члена $x^3y^2$ равна $3 + 2 = 5$.
• Степень члена $5x^4$ равна $4$.
• Степень члена $-2y^5$ равна $5$.
• Степень члена $-10$ (или $-10x^0y^0$) равна $0$.

Наибольшая из этих степеней – 5.

Ответ: Степень уравнения $x^3y^2 + 5x^4 - 2y^5 = 10$ равна 5.