Номер 308, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

308. Решите неравенство:

а) $x^2 < 16$;

б) $x^2 \ge 3$;

в) $0.2x^2 > 1.8$;

г) $-5x^2 \le x$;

д) $3x^2 < -2x$;

е) $7x < x^2$.

а) $x^2 < 16$
Перенесем 16 в левую часть неравенства, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:
$x^2 - 16 < 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x-4)(x+4) < 0$
Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $(x-4)(x+4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, \infty)$.
Рассмотрим параболу $y = x^2 - 16$. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции будут отрицательными (меньше нуля) между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-4, 4)$.
Ответ: $x \in (-4, 4)$.

б) $x^2 \ge 3$
Перенесем 3 в левую часть неравенства:
$x^2 - 3 \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \ge 0$
Найдем корни уравнения $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) = 0$. Корнями являются $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
Парабола $y = x^2 - 3$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции будут неотрицательными (больше или равны нулю) в точках, лежащих вне интервала между корнями, а также в самих корнях.
Следовательно, решением является объединение двух промежутков: $x \le -\sqrt{3}$ и $x \ge \sqrt{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

в) $0,2x^2 > 1,8$
Разделим обе части неравенства на 0,2 (так как 0,2 > 0, знак неравенства не меняется):
$x^2 > \frac{1,8}{0,2}$
$x^2 > 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$x^2 - 9 > 0$
Разложим на множители:
$(x-3)(x+3) > 0$
Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - 9$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решение: $x < -3$ или $x > 3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

г) $-5x^2 \le x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$0 \le 5x^2 + x$
Или, что то же самое:
$5x^2 + x \ge 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x + 1) \ge 0$
Найдем корни уравнения $x(5x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $5x+1=0 \implies x_2 = -1/5$.
Парабола $y = 5x^2 + x$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями и в самих корнях.
Корни в порядке возрастания: $-1/5$ и $0$.
Решение: $x \le -1/5$ или $x \ge 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/5] \cup [0, \infty)$.

д) $3x^2 < -2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 + 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(3x + 2) < 0$
Найдем корни уравнения $x(3x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $3x+2=0 \implies x_2 = -2/3$.
Парабола $y = 3x^2 + 2x$ ветвями вверх. Она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Корни в порядке возрастания: $-2/3$ и $0$.
Решение: $-2/3 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-2/3, 0)$.

е) $7x < x^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < x^2 - 7x$
Или:
$x^2 - 7x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 7) > 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 7) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Парабола $y = x^2 - 7x$ ветвями вверх. Она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решение: $x < 0$ или $x > 7$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.