Номер 312, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

312. Найдите множество решений неравенства:

а) $3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3;$

б) $9x^2 - x + 9 \ge 3x^2 + 18x - 6;$

в) $2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6);$

г) $(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2).$

а) Дано неравенство $3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство стандартного вида:
$3x^2 + 40x + 10 + x^2 - 11x - 3 < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(3+1)x^2 + (40-11)x + (10-3) < 0$
$4x^2 + 29x + 7 < 0$
Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 29x + 7 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 841 - 112 = 729$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 - 27}{8} = \frac{-56}{8} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 + 27}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Графиком функции $y = 4x^2 + 29x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=4 > 0$).
Следовательно, неравенство $4x^2 + 29x + 7 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями.
Ответ: $x \in (-7; -1/4)$.

б) Дано неравенство $9x^2 - x + 9 \ge 3x^2 + 18x - 6$.
Перенесем все члены в левую часть:
$9x^2 - x + 9 - 3x^2 - 18x + 6 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(9-3)x^2 + (-1-18)x + (9+6) \ge 0$
$6x^2 - 19x + 15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $6x^2 - 19x + 15 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
Графиком функции $y = 6x^2 - 19x + 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=6 > 0$).
Неравенство $6x^2 - 19x + 15 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty; 3/2] \cup [5/3; +\infty)$.

в) Дано неравенство $2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)$.
Сначала раскроем скобки в правой части:
$(3x - 5)(2x + 6) = 6x^2 + 18x - 10x - 30 = 6x^2 + 8x - 30$
Теперь неравенство имеет вид:
$2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < 6x^2 - 2x^2 + 8x - 8x - 30 + 111$
$0 < 4x^2 + 81$
Получили неравенство $4x^2 + 81 > 0$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, т.е. $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $4x^2 \ge 0$, а $4x^2 + 81 \ge 81$.
Поскольку $81 > 0$, неравенство $4x^2 + 81 > 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Дано неравенство $(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
Левая часть: $(5x + 1)(3x - 1) = 15x^2 - 5x + 3x - 1 = 15x^2 - 2x - 1$
Правая часть: $(4x - 1)(x + 2) = 4x^2 + 8x - x - 2 = 4x^2 + 7x - 2$
Неравенство принимает вид:
$15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$15x^2 - 4x^2 - 2x - 7x - 1 + 2 > 0$
$11x^2 - 9x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $11x^2 - 9x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 + \sqrt{37}}{22}$
Графиком функции $y = 11x^2 - 9x + 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=11 > 0$).
Неравенство $11x^2 - 9x + 1 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}) \cup (\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty)$.