Номер 313, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

313. Решите неравенство:

а) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9;$

б) $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13.$

а) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$

Теперь перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0$

$2x^2 - 7x - 9 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$

Мы решаем неравенство $2x^2 - 7x - 9 > 0$. Графиком функции $y = 2x^2 - 7x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = 4,5$.

Функция принимает положительные значения на интервалах, где ее график расположен выше оси абсцисс, то есть слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 4,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)$.

б) $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$

$5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным, и приведем подобные слагаемые:

$0 < 21x^2 - 5x^2 - 11x + 3x - 13 + 14$

$0 < 16x^2 - 8x + 1$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$16x^2 - 8x + 1 > 0$

Обратим внимание, что выражение в левой части является полным квадратом разности:

$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 = (4x - 1)^2$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(4x - 1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положителен. Выражение $(4x - 1)^2$ равно нулю только в одном случае:

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Во всех остальных случаях $(4x - 1)^2$ будет строго больше нуля. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.