Номер 320, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

320. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0, \\ x^2 - 9 < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 - 13x + 6 < 0, \\ x^2 - 4x > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 > 0, \\ x^2 + 2x - 120 < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x^2 + x - 2 \le 0, \\ x^2 + 4x - 12 \le 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x^2 + 4x + 15 \ge 0, \\ x^2 - 9x + 8 \le 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3 < 0, \\ 3x^2 + x + 11 < 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2$, $x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-2, 4)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x-3)(x+3) < 0$.
Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 9 < 0$ выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $(-2, 4) \cap (-3, 3)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

б)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x^2 - 13x + 6 < 0 \\ x^2 - 4x > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 - 13x + 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$, $x_2 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 13x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (0.5, 6)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x > 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x-4) > 0$.
Корни уравнения $x(x-4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(0.5, 6) \cap ((-\infty, 0) \cup (4, +\infty))$.

Пересечением является интервал $(4, 6)$.

Ответ: $x \in (4, 6)$.

в)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 > 0 \\ x^2 + 2x - 120 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x - 16 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$.
Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$, $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 2x - 120 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 120 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 = 22^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 - 22}{2} = -12$, $x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-12, 10)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2) \cup (8, +\infty)) \cap (-12, 10)$.

Пересечение состоит из двух интервалов: $(-12, -2)$ и $(8, 10)$.

Ответ: $x \in (-12, -2) \cup (8, 10)$.

г)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x^2 + x - 2 \le 0 \\ x^2 + 4x - 12 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $3x^2 + x - 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Решение первого неравенства: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 4x - 12 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = -6, x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Решение второго неравенства: $x \in [-6, 2]$.

3. Найдем пересечение решений: $[-1, \frac{2}{3}] \cap [-6, 2]$.

Пересечением является отрезок $[-1, \frac{2}{3}]$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

д)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x^2 + 4x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 8 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 + 4x + 15 \ge 0$.

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 + 4x + 15 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 16 - 120 = -104$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, парабола $y = 2x^2 + 4x + 15$ полностью лежит выше оси Ox и не имеет корней. Следовательно, выражение $2x^2 + 4x + 15$ всегда положительно.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = 8$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Решение второго неравенства: $x \in [1, 8]$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap [1, 8]$.

Пересечением является отрезок $[1, 8]$.

Ответ: $x \in [1, 8]$.

е)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3 < 0 \\ 3x^2 + x + 11 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = -3$, $x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-3, 0.5)$.

2. Решим второе неравенство: $3x^2 + x + 11 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $3x^2 + x + 11 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 - 132 = -131$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, парабола $y = 3x^2 + x + 11$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $3x^2 + x + 11$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $3x^2 + x + 11 < 0$ не имеет решений.

3. Поскольку второе неравенство не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).