Номер 317, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

317. Докажите, что:

a) $x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1$ при любом $x$;

б) $-2x^2 + 10x < 18 - 2x$ при $x \neq 3$.

а) Докажем неравенство $x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1$ при любом $x$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 + 7x + 1 - (-x^2 + 10x - 1) > 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 7x + 1 + x^2 - 10x + 1 > 0$

$2x^2 - 3x + 2 > 0$

Теперь нам нужно доказать, что квадратный трехчлен $2x^2 - 3x + 2$ всегда принимает положительные значения. Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 - 3x + 2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$).

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции (парабола) не пересекает и не касается оси абсцисс (оси $Ox$).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$, вся парабола находится выше этой оси. Следовательно, значение выражения $2x^2 - 3x + 2$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажем неравенство $-2x^2 + 10x < 18 - 2x$ при $x \neq 3$.

Перенесем все члены из левой части в правую, чтобы получить квадратичное неравенство со знаком «больше»:

$0 < 18 - 2x - (-2x^2 + 10x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0 < 18 - 2x + 2x^2 - 10x$

$0 < 2x^2 - 12x + 18$

Или, в более привычном виде:

$2x^2 - 12x + 18 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$

Неравенство принимает вид:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x - 3)^2 \geq 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только в одном случае: когда основание степени равно нулю, то есть $x - 3 = 0$, что означает $x = 3$.

По условию задачи, мы рассматриваем все значения $x$, кроме $x=3$ ($x \neq 3$). При этом условии $x - 3 \neq 0$, и, следовательно, квадрат этого выражения $(x - 3)^2$ всегда будет строго положительным числом.

Таким образом, неравенство $(x - 3)^2 > 0$ верно для всех $x \neq 3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.