Номер 315, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

315. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

а) $7x^2 - 10x + 7 > 0;$

б) $-6y^2 + 11y - 10 < 0;$

в) $4x^2 + 12x + 9 \geq 0;$

г) $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \geq 0;$

д) $-9y^2 + 6y - 1 \leq 0;$

е) $-5x^2 + 8x - 5 < 0.$

1) Обсудите, при каком условии неравенство $ax^2 + bx + c > 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа, верно при любом значении переменной $x$. Укажите аналогичные условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.

1)

Выражение $ax^2 + bx + c$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола. Знак этого выражения при любом значении переменной $x$ зависит от двух условий: направления ветвей параболы (определяется знаком коэффициента $a$) и наличия у параболы пересечений с осью абсцисс (определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$).

Для того чтобы неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ было верно при любом значении $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Парабола должна быть полностью расположена выше оси $x$.
2. Для этого ее ветви должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.
3. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью $x$, что означает отсутствие действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант отрицателен: $D < 0$.

Таким образом, условия: $a > 0$ и $D < 0$.

Аналогичные условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$:

1. Парабола должна быть полностью расположена ниже оси $x$.
2. Для этого ее ветви должны быть направлены вниз, что означает $a < 0$.
3. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью $x$, что означает отсутствие действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант отрицателен: $D < 0$.

Таким образом, условия: $a < 0$ и $D < 0$.

Ответ: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x$, если $a > 0$ и $D < 0$. Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ верно при любом $x$, если $a < 0$ и $D < 0$.

а)

Рассмотрим квадратичный трехчлен $7x^2 - 10x + 7$. Графиком соответствующей функции является парабола. Старший коэффициент $a=7$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 100 - 196 = -96$. Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $x$, вся парабола расположена выше оси $x$. Следовательно, выражение $7x^2 - 10x + 7$ положительно при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $7x^2 - 10x + 7 > 0$ доказано.

б)

Рассмотрим квадратичный трехчлен $-6y^2 + 11y - 10$. Графиком является парабола. Старший коэффициент $a=-6$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119$. Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $y$. Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $y$, вся парабола расположена ниже оси $y$. Следовательно, выражение $-6y^2 + 11y - 10$ отрицательно при любом значении $y$. Ответ: Неравенство $-6y^2 + 11y - 10 < 0$ доказано.

в)

Рассмотрим выражение $4x^2 + 12x + 9$. Заметим, что это выражение является формулой квадрата суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ доказано.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$. Это выражение является формулой квадрата разности: $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 8 + 8^2 = (\frac{1}{2}x - 8)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(\frac{1}{2}x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ доказано.

д)

Рассмотрим выражение $-9y^2 + 6y - 1$. Вынесем $-1$ за скобки: $-(9y^2 - 6y + 1)$. Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(3y-1)^2$. Поскольку $(3y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y$, то выражение $-(3y - 1)^2$ всегда будет неположительным, то есть $-(3y - 1)^2 \le 0$. Ответ: Неравенство $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ доказано.

е)

Рассмотрим квадратичный трехчлен $-5x^2 + 8x - 5$. Графиком является парабола. Старший коэффициент $a=-5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$. Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $x$, вся парабола расположена ниже оси $x$. Следовательно, выражение $-5x^2 + 8x - 5$ отрицательно при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $-5x^2 + 8x - 5 < 0$ доказано.