Номер 311, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

311. При каких значениях $t$ уравнение не имеет корней:

a) $2x^2 + tx + 18 = 0;$

б) $4x^2 + 4tx + 9 = 0? $

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен, то есть $D < 0$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) $2x^2 + tx + 18 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = t$, $c = 18$.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = t^2 - 144$.

Уравнение не имеет корней при условии $D < 0$. Решим это неравенство:

$t^2 - 144 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(t - 12)(t + 12) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $t^2 - 144 = 0$ являются $t_1 = -12$ и $t_2 = 12$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), значения функции будут отрицательными между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-12 < t < 12$.

Ответ: $t \in (-12; 12)$.

б) $4x^2 + 4tx + 9 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = 4t$, $c = 9$.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (4t)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 16t^2 - 144$.

Уравнение не имеет корней при условии $D < 0$. Решим неравенство:

$16t^2 - 144 < 0$

Разделим обе части неравенства на 16, чтобы упростить его:

$t^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители:

$(t - 3)(t + 3) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $t^2 - 9 = 0$ являются $t_1 = -3$ и $t_2 = 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-3 < t < 3$.

Ответ: $t \in (-3; 3)$.