Номер 318, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Решение неравенств второй степени с одной переменной. § 6. Неравенства с одной переменной. Глава 2. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 318, страница 92.

318. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть меньшая сторона, если площадь прямоугольника не превосходит 60 $\text{см}^2$?

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, большая сторона равна $(x + 7)$ см. Поскольку длина стороны является положительной величиной, должно выполняться условие $x > 0$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = x(x + 7)$.

По условию задачи, площадь не превосходит 60 см², что математически записывается в виде неравенства: $x(x + 7) \le 60$

Для решения этого неравенства раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 + 7x \le 60$
$x^2 + 7x - 60 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 60 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 + 7x - 60$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции будут не больше нуля ($y \le 0$) на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 + 7x - 60 \le 0$ есть промежуток $[-12; 5]$.

Однако, как мы установили в начале, длина меньшей стороны $x$ должна быть строго больше нуля ($x > 0$). Объединяя это условие с полученным решением $[-12; 5]$, находим итоговый промежуток для $x$: $0 < x \le 5$

Это означает, что меньшая сторона прямоугольника может принимать любое значение больше 0 и не превышающее 5 см.

Ответ: меньшая сторона может быть любой длины в промежутке от 0 см до 5 см включительно, то есть $x \in (0; 5]$.