Номер 325, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

325. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) $(x + 8)(x - 5) > 0;$

б) $(x - 14)(x + 10) < 0;$

в) $(x - 3,5)(x + 8,5) \ge 0;$

г) $(x + \frac{1}{3})(x + \frac{1}{8}) \le 0.$

а) $(x + 8)(x - 5) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов, сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(x + 8)(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 8 = 0$ или $x - 5 = 0$

$x_1 = -8$, $x_2 = 5$

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($> 0$), точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 8)(x - 5)$ в каждом интервале, взяв по одной пробной точке:

• При $x = 6$ (интервал $(5; +\infty)$): $(6 + 8)(6 - 5) = 14 \cdot 1 = 14 > 0$. Знак "+".
• При $x = 0$ (интервал $(-8; 5)$): $(0 + 8)(0 - 5) = 8 \cdot (-5) = -40 < 0$. Знак "-".
• При $x = -9$ (интервал $(-\infty; -8)$): $(-9 + 8)(-9 - 5) = (-1) \cdot (-14) = 14 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (5; +\infty)$

б) $(x - 14)(x + 10) < 0$

Найдем корни уравнения:

$(x - 14)(x + 10) = 0$

$x - 14 = 0$ или $x + 10 = 0$

$x_1 = 14$, $x_2 = -10$

Отметим точки -10 и 14 на числовой прямой. Неравенство строгое ($< 0$), поэтому точки "выколотые". Получаем интервалы: $(-\infty; -10)$, $(-10; 14)$ и $(14; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах (так как все множители в первой степени, знаки будут чередоваться). Возьмем пробную точку $x = 15$ из крайнего правого интервала:

$(15 - 14)(15 + 10) = 1 \cdot 25 = 25 > 0$.

Значит, знаки на интервалах распределяются так: `+` на $(14; +\infty)$, `-` на $(-10; 14)$, `+` на $(-\infty; -10)$.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак "-".

Ответ: $x \in (-10; 14)$

в) $(x - 3,5)(x + 8,5) \ge 0$

Найдем корни уравнения:

$(x - 3,5)(x + 8,5) = 0$

$x - 3,5 = 0$ или $x + 8,5 = 0$

$x_1 = 3,5$, $x_2 = -8,5$

Отметим точки -8,5 и 3,5 на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому точки будут "закрашенными", то есть войдут в решение. Получаем промежутки: $(-\infty; -8,5]$, $[-8,5; 3,5]$ и $[3,5; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах. Возьмем пробную точку $x = 4$ из крайнего правого интервала:

$(4 - 3,5)(4 + 8,5) = 0,5 \cdot 12,5 = 6,25 > 0$.

Знаки на интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это промежутки со знаком "+" и сами точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -8,5] \cup [3,5; +\infty)$

г) $\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) \le 0$

Найдем корни уравнения:

$\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) = 0$

$x + \frac{1}{3} = 0$ или $x + \frac{1}{8} = 0$

$x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{8}$

Отметим точки $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{8}$ на числовой прямой. Так как $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{8}$, точка $-\frac{1}{3}$ будет левее. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому точки "закрашенные". Получаем промежутки: $(-\infty; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}]$ и $[-\frac{1}{8}; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах. Возьмем пробную точку $x = 0$ из крайнего правого интервала:

$\left(0 + \frac{1}{3}\right)\left(0 + \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24} > 0$.

Знаки на интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`.

Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток со знаком "-" и сами точки.

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}\right]$