Номер 332, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

332. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)};$

б) $y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)}.$

а) $y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)}$

Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$(5 - x)(x + 8) \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(5 - x)(x + 8) = 0$.

Корни уравнения:

$5 - x = 0 \implies x_1 = 5$

$x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$. Выражение $f(x) = (5 - x)(x + 8) = -x^2 - 3x + 40$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни также включаются в решение. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-8, 5]$.

Ответ: $x \in [-8, 5]$.

б) $y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)}$

Аналогично, область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(x + 12)(x - 1)(x - 9) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x + 12)(x - 1)(x - 9)$.

Корни уравнения:

$x + 12 = 0 \implies x_1 = -12$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x - 9 = 0 \implies x_3 = 9$

Нанесем эти точки на числовую ось, что разделит ее на четыре интервала: $(-\infty; -12)$, $(-12; 1)$, $(1; 9)$ и $(9; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из интервалов:

– на интервале $(9, +\infty)$: все три множителя $(x+12)$, $(x-1)$, $(x-9)$ положительны, значит, произведение положительно (+).

– на интервале $(1, 9)$: множитель $(x-9)$ отрицателен, остальные положительны, значит, произведение отрицательно (-).

– на интервале $(-12, 1)$: множители $(x-1)$ и $(x-9)$ отрицательны, а $(x+12)$ положителен. Произведение двух отрицательных и одного положительного числа положительно (+).

– на интервале $(-\infty, -12)$: все три множителя отрицательны, значит, их произведение отрицательно (-).

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая их концы, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, решением является объединение промежутков: $[-12, 1] \cup [9, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-12, 1] \cup [9, +\infty)$.