Номер 335, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

335. Решите неравенство:

а) $ \frac{x - 21}{x + 7} < 0; $

б) $ \frac{x + 4,7}{x - 7,2} > 0; $

в) $ \frac{6x + 1}{3 + x} > 0; $

г) $ \frac{5x}{4x - 12} < 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x-21}{x+7} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может поменять знак.
Нуль числителя: $x - 21 = 0 \Rightarrow x = 21$.
Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x = -7$ всегда является выколотой (не включается в решение).

2. Отметим точки $-7$ и $21$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), обе точки будут выколотыми.

3. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 21)$ и $(21; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале, подставив в выражение любое значение из этого интервала:
- При $x > 21$ (например, $x=22$): $\frac{22-21}{22+7} = \frac{1}{29} > 0$. Знак «+».
- При $-7 < x < 21$ (например, $x=0$): $\frac{0-21}{0+7} = -3 < 0$. Знак «-».
- При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{-8-21}{-8+7} = \frac{-29}{-1} = 29 > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь меньше нуля (имеет знак «-»). Этому условию соответствует интервал $(-7; 21)$.

Ответ: $x \in (-7; 21)$

б) Решим неравенство $\frac{x+4,7}{x-7,2} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 4,7 = 0 \Rightarrow x = -4,7$.
Нуль знаменателя: $x - 7,2 = 0 \Rightarrow x = 7,2$. Точка $x=7,2$ выколотая, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Отметим точки $-4,7$ и $7,2$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$).

3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -4,7)$, $(-4,7; 7,2)$ и $(7,2; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из них:
- При $x > 7,2$ (например, $x=10$): $\frac{10+4,7}{10-7,2} > 0$. Знак «+».
- При $-4,7 < x < 7,2$ (например, $x=0$): $\frac{0+4,7}{0-7,2} < 0$. Знак «-».
- При $x < -4,7$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4,7}{-5-7,2} = \frac{-0,3}{-12,2} > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь больше нуля (знак «+»). Этому условию соответствуют два интервала: $(-\infty; -4,7)$ и $(7,2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4,7) \cup (7,2; +\infty)$

в) Решим неравенство $\frac{6x+1}{3+x} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6x + 1 = 0 \Rightarrow 6x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}$.
Нуль знаменателя: $3 + x = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка $x=-3$ выколотая.

2. Отметим точки $-3$ и $-\frac{1}{6}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -\frac{1}{6})$ и $(-\frac{1}{6}; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x > -\frac{1}{6}$ (например, $x=0$): $\frac{6 \cdot 0+1}{3+0} = \frac{1}{3} > 0$. Знак «+».
- При $-3 < x < -\frac{1}{6}$ (например, $x=-1$): $\frac{6(-1)+1}{3+(-1)} = \frac{-5}{2} < 0$. Знак «-».
- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{6(-4)+1}{3+(-4)} = \frac{-23}{-1} = 23 > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь больше нуля (знак «+»). Этому соответствуют интервалы $(-\infty; -3)$ и $(-\frac{1}{6}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$

г) Решим неравенство $\frac{5x}{4x-12} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Нуль знаменателя: $4x - 12 = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$. Точка $x=3$ выколотая.

2. Отметим точки $0$ и $3$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из них:
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4 - 12} = \frac{20}{4} > 0$. Знак «+».
- При $0 < x < 3$ (например, $x=1$): $\frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 1 - 12} = \frac{5}{-8} < 0$. Знак «-».
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{5(-1)}{4(-1)-12} = \frac{-5}{-16} > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь меньше нуля (знак «-»). Этому условию соответствует интервал $(0; 3)$.

Ответ: $x \in (0; 3)$