Номер 1, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1 На примере неравенств $3x^2 + 5x - 2 < 0$ и $x^2 + 2x + 6 > 0$ расскажите, как можно решить неравенство второй степени, используя свойства графика квадратичной функции.

Чтобы решить неравенство второй степени $ax^2 + bx + c > 0$ (или с другим знаком неравенства), используя свойства графика квадратичной функции, нужно следовать определенному алгоритму. Этот метод позволяет наглядно представить решение.

Общий план действий:

1. Рассмотреть соответствующую квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$.
2. Определить направление ветвей параболы, которая является графиком этой функции. Если старший коэффициент $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
3. Найти нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс $Ox$), решив квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. Схематически нарисовать параболу, учитывая направление ветвей и найденные нули (если они есть).
5. По графику определить, на каких промежутках оси $Ox$ функция принимает значения, удовлетворяющие исходному неравенству (т.е. где график расположен выше или ниже оси $Ox$).

Рассмотрим этот метод на двух примерах.

Решение неравенства $3x^2 + 5x - 2 < 0$

1. Рассмотрим функцию $y = 3x^2 + 5x - 2$. Её график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -2$ и $x = \frac{1}{3}$.

4. Схематически изобразим параболу: ветви вверх, пересекает ось $Ox$ в точках $-2$ и $\frac{1}{3}$.

5. Нам нужно решить неравенство $3x^2 + 5x - 2 < 0$, то есть найти такие $x$, при которых $y < 0$. По графику видно, что функция принимает отрицательные значения (график находится ниже оси $Ox$) на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{3})$

Решение неравенства $x^2 + 2x + 6 > 0$

1. Рассмотрим функцию $y = x^2 + 2x + 6$. Её график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 2x + 6 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает и не касается оси $Ox$.

4. Схематически изобразим параболу: ветви направлены вверх, и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$. Это значит, что вся парабола целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси $Ox$.

5. Нам нужно решить неравенство $x^2 + 2x + 6 > 0$, то есть найти такие $x$, при которых $y > 0$. Как мы установили из расположения графика, функция принимает положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$