Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

340. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором — 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть объем раствора во втором сосуде равен $x$ литров. Тогда, согласно условию, объем раствора в первом сосуде составляет $(x - 1)$ литров.

Концентрация раствора в первом сосуде составляет $10\%$ (или $0.1$), а во втором — $20\%$ (или $0.2$). Масса чистого вещества (соли) в растворе вычисляется как произведение объема раствора на его концентрацию.

Найдем массу соли в каждом сосуде:
Масса соли в первом сосуде: $M_1 = 0.1 \cdot (x - 1)$
Масса соли во втором сосуде: $M_2 = 0.2 \cdot x$

После того как растворы слили вместе, общий объем нового раствора стал суммой объемов исходных растворов:
$V_{общ} = (x - 1) + x = 2x - 1$

Общая масса соли в новом растворе также стала суммой масс соли из двух сосудов:
$M_{общ} = M_1 + M_2 = 0.1 \cdot (x - 1) + 0.2 \cdot x = 0.1x - 0.1 + 0.2x = 0.3x - 0.1$

Концентрация полученного раствора составляет $16\%$ (или $0.16$). Она равна отношению общей массы соли к общему объему раствора:
$C_{общ} = \frac{M_{общ}}{V_{общ}} = \frac{0.3x - 0.1}{2x - 1}$

Составим и решим уравнение:
$\frac{0.3x - 0.1}{2x - 1} = 0.16$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2x - 1)$:
$0.3x - 0.1 = 0.16 \cdot (2x - 1)$
$0.3x - 0.1 = 0.32x - 0.16$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$0.16 - 0.1 = 0.32x - 0.3x$
$0.06 = 0.02x$

Отсюда находим $x$:
$x = \frac{0.06}{0.02} = 3$

Таким образом, объем раствора во втором сосуде составлял $3$ литра. Теперь найдем объем раствора в первом сосуде:
$x - 1 = 3 - 1 = 2$ литра.

Проведем проверку:
Масса соли в 2 л 10%-го раствора: $2 \cdot 0.1 = 0.2$ кг.
Масса соли в 3 л 20%-го раствора: $3 \cdot 0.2 = 0.6$ кг.
Общий объем смеси: $2 + 3 = 5$ л.
Общая масса соли в смеси: $0.2 + 0.6 = 0.8$ кг.
Концентрация смеси: $\frac{0.8}{5} = 0.16$, что равно $16\%$. Расчеты верны.
Ответ: В первом сосуде было 2 литра раствора, во втором сосуде — 3 литра.

1 На примере неравенств $3x^2 + 5x - 2 < 0$ и $x^2 + 2x + 6 > 0$ расскажите, как можно решить неравенство второй степени, используя свойства графика квадратичной функции.

Чтобы решить неравенство второй степени $ax^2 + bx + c > 0$ (или с другим знаком неравенства), используя свойства графика квадратичной функции, нужно следовать определенному алгоритму. Этот метод позволяет наглядно представить решение.

Общий план действий:

1. Рассмотреть соответствующую квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$.
2. Определить направление ветвей параболы, которая является графиком этой функции. Если старший коэффициент $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
3. Найти нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс $Ox$), решив квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. Схематически нарисовать параболу, учитывая направление ветвей и найденные нули (если они есть).
5. По графику определить, на каких промежутках оси $Ox$ функция принимает значения, удовлетворяющие исходному неравенству (т.е. где график расположен выше или ниже оси $Ox$).

Рассмотрим этот метод на двух примерах.

Решение неравенства $3x^2 + 5x - 2 < 0$

1. Рассмотрим функцию $y = 3x^2 + 5x - 2$. Её график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -2$ и $x = \frac{1}{3}$.

4. Схематически изобразим параболу: ветви вверх, пересекает ось $Ox$ в точках $-2$ и $\frac{1}{3}$.

5. Нам нужно решить неравенство $3x^2 + 5x - 2 < 0$, то есть найти такие $x$, при которых $y < 0$. По графику видно, что функция принимает отрицательные значения (график находится ниже оси $Ox$) на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{3})$

Решение неравенства $x^2 + 2x + 6 > 0$

1. Рассмотрим функцию $y = x^2 + 2x + 6$. Её график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 2x + 6 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает и не касается оси $Ox$.

4. Схематически изобразим параболу: ветви направлены вверх, и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$. Это значит, что вся парабола целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси $Ox$.

5. Нам нужно решить неравенство $x^2 + 2x + 6 > 0$, то есть найти такие $x$, при которых $y > 0$. Как мы установили из расположения графика, функция принимает положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

На примере неравенства $(x - 5)(x + 7)(x + 9) < 0$ расскажите, как решают неравенства методом интервалов.

Метод интервалов — это универсальный способ решения сложных неравенств. Его суть заключается в том, чтобы найти точки, в которых выражение в левой части неравенства равно нулю или не существует, отметить эти точки на числовой оси и определить знак выражения на каждом из получившихся интервалов. Рассмотрим этот метод на примере неравенства $(x-5)(x+7)(x+9) < 0$.

Шаг 1. Нахождение нулей функции

В первую очередь необходимо найти значения $x$, при которых левая часть неравенства обращается в ноль. Для этого приравняем ее к нулю.

$(x-5)(x+7)(x+9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Решим три простых уравнения:

$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$

$x + 7 = 0 \implies x_2 = -7$

$x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Мы получили три корня (или "нуля функции"): -9, -7 и 5.

Шаг 2. Нанесение нулей на числовую ось

Теперь нанесем найденные точки на числовую ось в порядке возрастания. Так как знак неравенства строгий ($<$), то сами точки не являются решением и на оси отмечаются "выколотыми" (пустыми) кружками. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала:

$(-\infty; -9)$, $(-9; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Шаг 3. Определение знаков на каждом интервале

Определим знак выражения $(x-5)(x+7)(x+9)$ на каждом из этих интервалов. Для этого возьмем любое "пробное" число из каждого интервала и подставим его в выражение.

• Интервал $(5; +\infty)$. Возьмем $x=10$.
$(10-5)(10+7)(10+9) = (+)(+)(+) \implies$ знак "+".

• Интервал $(-7; 5)$. Возьмем $x=0$.
$(0-5)(0+7)(0+9) = (-)(+)(+) \implies$ знак "-".

• Интервал $(-9; -7)$. Возьмем $x=-8$.
$(-8-5)(-8+7)(-8+9) = (-)(-)(+) \implies$ знак "+".

• Интервал $(-\infty; -9)$. Возьмем $x=-10$.
$(-10-5)(-10+7)(-10+9) = (-)(-)(-) \implies$ знак "-".

Так как все корни уравнения имеют нечетную кратность (каждая скобка в первой степени), знаки на интервалах будут чередоваться. Поэтому достаточно было определить знак в крайнем правом интервале и расставить остальные знаки поочередно.

Шаг 4. Выбор интервалов и запись ответа

Согласно условию, нам нужно найти значения $x$, при которых выражение $(x-5)(x+7)(x+9)$ меньше нуля, то есть отрицательно. Глядя на расставленные знаки, выбираем интервалы, где стоит знак "минус".

Такими интервалами являются $(-\infty; -9)$ и $(-7; 5)$.

Объединение этих интервалов является решением исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-7; 5)$.