Страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

325. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) $(x + 8)(x - 5) > 0;$

б) $(x - 14)(x + 10) < 0;$

в) $(x - 3,5)(x + 8,5) \ge 0;$

г) $(x + \frac{1}{3})(x + \frac{1}{8}) \le 0.$

а) $(x + 8)(x - 5) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов, сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(x + 8)(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 8 = 0$ или $x - 5 = 0$

$x_1 = -8$, $x_2 = 5$

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($> 0$), точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 8)(x - 5)$ в каждом интервале, взяв по одной пробной точке:

• При $x = 6$ (интервал $(5; +\infty)$): $(6 + 8)(6 - 5) = 14 \cdot 1 = 14 > 0$. Знак "+".
• При $x = 0$ (интервал $(-8; 5)$): $(0 + 8)(0 - 5) = 8 \cdot (-5) = -40 < 0$. Знак "-".
• При $x = -9$ (интервал $(-\infty; -8)$): $(-9 + 8)(-9 - 5) = (-1) \cdot (-14) = 14 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (5; +\infty)$

б) $(x - 14)(x + 10) < 0$

Найдем корни уравнения:

$(x - 14)(x + 10) = 0$

$x - 14 = 0$ или $x + 10 = 0$

$x_1 = 14$, $x_2 = -10$

Отметим точки -10 и 14 на числовой прямой. Неравенство строгое ($< 0$), поэтому точки "выколотые". Получаем интервалы: $(-\infty; -10)$, $(-10; 14)$ и $(14; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах (так как все множители в первой степени, знаки будут чередоваться). Возьмем пробную точку $x = 15$ из крайнего правого интервала:

$(15 - 14)(15 + 10) = 1 \cdot 25 = 25 > 0$.

Значит, знаки на интервалах распределяются так: `+` на $(14; +\infty)$, `-` на $(-10; 14)$, `+` на $(-\infty; -10)$.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак "-".

Ответ: $x \in (-10; 14)$

в) $(x - 3,5)(x + 8,5) \ge 0$

Найдем корни уравнения:

$(x - 3,5)(x + 8,5) = 0$

$x - 3,5 = 0$ или $x + 8,5 = 0$

$x_1 = 3,5$, $x_2 = -8,5$

Отметим точки -8,5 и 3,5 на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому точки будут "закрашенными", то есть войдут в решение. Получаем промежутки: $(-\infty; -8,5]$, $[-8,5; 3,5]$ и $[3,5; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах. Возьмем пробную точку $x = 4$ из крайнего правого интервала:

$(4 - 3,5)(4 + 8,5) = 0,5 \cdot 12,5 = 6,25 > 0$.

Знаки на интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это промежутки со знаком "+" и сами точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -8,5] \cup [3,5; +\infty)$

г) $\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) \le 0$

Найдем корни уравнения:

$\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) = 0$

$x + \frac{1}{3} = 0$ или $x + \frac{1}{8} = 0$

$x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{8}$

Отметим точки $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{8}$ на числовой прямой. Так как $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{8}$, точка $-\frac{1}{3}$ будет левее. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому точки "закрашенные". Получаем промежутки: $(-\infty; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}]$ и $[-\frac{1}{8}; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах. Возьмем пробную точку $x = 0$ из крайнего правого интервала:

$\left(0 + \frac{1}{3}\right)\left(0 + \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24} > 0$.

Знаки на интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`.

Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток со знаком "-" и сами точки.

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}\right]$

326. Решите неравенство:

а) $ (x + 25)(x - 30) < 0; $

б) $ (x + 6)(x - 6) > 0; $

в) $ \left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right) \le 0; $

г) $ (x + 0,1)(x + 6,3) \ge 0. $

а) $(x + 25)(x - 30) < 0$

Для решения данного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x + 25)(x - 30) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 25 = 0$ или $x - 30 = 0$

$x_1 = -25$

$x_2 = 30$

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -25)$, $(-25; 30)$ и $(30; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 25)(x - 30)$ в каждом интервале. Функция $y = (x+25)(x-30)$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут положительны по краям и отрицательны в середине.

• При $x > 30$ (например, $x=40$): $(40+25)(40-30) = 65 \cdot 10 > 0$. Знак «+».
• При $-25 < x < 30$ (например, $x=0$): $(0+25)(0-30) = 25 \cdot (-30) < 0$. Знак «-».
• При $x < -25$ (например, $x=-30$): $(-30+25)(-30-30) = (-5) \cdot (-60) > 0$. Знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть имело знак «-». Этому условию удовлетворяет интервал $(-25; 30)$.

Ответ: $x \in (-25; 30)$.

б) $(x + 6)(x - 6) > 0$

Найдем корни уравнения $(x + 6)(x - 6) = 0$.

$x + 6 = 0$ или $x - 6 = 0$

$x_1 = -6$

$x_2 = 6$

Отметим точки $-6$ и $6$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми. Получаем интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Выражение $(x+6)(x-6)$ можно записать как $x^2 - 36$. График функции $y = x^2 - 36$ — парабола с ветвями вверх. Знаки в интервалах будут чередоваться: «+», «-», «+».

• Интервал $(-\infty; -6)$: знак «+».
• Интервал $(-6; 6)$: знак «-».
• Интервал $(6; +\infty)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, то есть имело знак «+». Этому условию удовлетворяют два интервала.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

в) $(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5}) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5}) = 0$.

$x - \frac{1}{3} = 0$ или $x - \frac{1}{5} = 0$

$x_1 = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{1}{5}$

Сравним корни: $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), точки будут закрашенными. Интервалы: $(-\infty; \frac{1}{5}]$, $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$ и $[\frac{1}{3}; +\infty)$.

График функции $y = (x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5})$ — парабола с ветвями вверх. Знаки в интервалах: «+», «-», «+».

• Интервал $(-\infty; \frac{1}{5}]$: знак «+».
• Интервал $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$: знак «-».
• Интервал $[\frac{1}{3}; +\infty)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Этому условию удовлетворяет центральный интервал, включая его концы.

Ответ: $x \in [\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$.

г) $(x + 0,1)(x + 6,3) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(x + 0,1)(x + 6,3) = 0$.

$x + 0,1 = 0$ или $x + 6,3 = 0$

$x_1 = -0,1$

$x_2 = -6,3$

Сравним корни: $-6,3 < -0,1$. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки будут закрашенными. Интервалы: $(-\infty; -6,3]$, $[-6,3; -0,1]$ и $[-0,1; +\infty)$.

График функции $y = (x + 0,1)(x + 6,3)$ — парабола с ветвями вверх. Знаки в интервалах: «+», «-», «+».

• Интервал $(-\infty; -6,3]$: знак «+».
• Интервал $[-6,3; -0,1]$: знак «-».
• Интервал $[-0,1; +\infty)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Этому условию удовлетворяют крайние интервалы, включая их концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -6,3] \cup [-0,1; +\infty)$.

327. Решите неравенство:

a) $(x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0;$

б) $(x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0;$

в) $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0.$

а) $(x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 2)(x - 5)(x - 12)$, решив уравнение $(x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0$.
Корнями уравнения являются $x_1 = 2$, $x_2 = 5$, $x_3 = 12$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$, $(5; 12)$ и $(12; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 13$.
$(13 - 2)(13 - 5)(13 - 12) = 11 \cdot 8 \cdot 1 = 88 > 0$. Значит, в интервале $(12; +\infty)$ выражение положительно.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
Таким образом, знаки на интервалах распределяются следующим образом:
$(-\infty; 2)$: знак "–"
$(2; 5)$: знак "+"
$(5; 12)$: знак "–"
$(12; +\infty)$: знак "+"
4. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)$

б) $(x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Находим нули функции $f(x) = (x + 7)(x + 1)(x - 4)$, решив уравнение $(x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0$.
Корнями являются $x_1 = -7$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$.
2. Отмечаем эти точки на числовой прямой. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки выколотые. Корни разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; -1)$, $(-1; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определяем знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ при $x=5$ имеем $(5+7)(5+1)(5-4) > 0$.
Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются.
Распределение знаков:
$(-\infty; -7)$: знак "–"
$(-7; -1)$: знак "+"
$(-1; 4)$: знак "–"
$(4; +\infty)$: знак "+"
4. Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы со знаком "–".

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)$

в) $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0$

Применяем метод интервалов.
1. Находим нули функции $f(x) = x(x + 1)(x + 5)(x - 8)$, решив уравнение $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) = 0$.
Корни уравнения (в порядке возрастания): $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 8$.
2. Отмечаем выколотые точки на числовой прямой, так как неравенство строгое ($>$). Точки разбивают прямую на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$.
3. Определяем знаки. В крайнем правом интервале $(8; +\infty)$ при $x=10$ выражение $10(10+1)(10+5)(10-8)$ очевидно положительно.
Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются.
Распределение знаков:
$(-\infty; -5)$: знак "+"
$(-5; -1)$: знак "–"
$(-1; 0)$: знак "+"
$(0; 8)$: знак "–"
$(8; +\infty)$: знак "+"
4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)$

328. Найдите, при каких значениях x:

а) произведение $(x + 48)(x - 37)(x - 42)$ положительно;

б) произведение $(x + 0.7)(x - 2.8)(x - 9.2)$ отрицательно.

а) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 48)(x - 37)(x - 42)$ положительно, необходимо решить неравенство:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдём корни уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни (нули функции):

$x + 48 = 0 \implies x_1 = -48$

$x - 37 = 0 \implies x_2 = 37$

$x - 42 = 0 \implies x_3 = 42$

Нанесём эти точки на числовую ось в порядке возрастания: -48, 37, 42. Эти точки делят ось на четыре интервала: $(-\infty; -48)$, $(-48; 37)$, $(37; 42)$ и $(42; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения в каждом интервале. Для этого можно взять любую точку из каждого интервала и подставить в выражение. Удобнее определить знак в крайнем правом интервале, а затем чередовать знаки, так как все корни имеют кратность 1.

Возьмём точку из интервала $(42; +\infty)$, например, $x = 50$:

$(50 + 48)(50 - 37)(50 - 42) = (98) \cdot (13) \cdot (8)$. Все множители положительны, значит, произведение положительно. Ставим знак «+».

При переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Таким образом, знаки на интервалах будут распределяться следующим образом (справа налево): «+», «-», «+», «-».

$(-\infty; -48)$: знак «-»
$(-48; 37)$: знак «+»
$(37; 42)$: знак «-»
$(42; +\infty)$: знак «+»

По условию задачи, произведение должно быть положительным ($> 0$). Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-48; 37) \cup (42; +\infty)$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2)$ отрицательно, необходимо решить неравенство:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём нули функции, решив уравнение:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) = 0$

Корни уравнения:

$x + 0,7 = 0 \implies x_1 = -0,7$

$x - 2,8 = 0 \implies x_2 = 2,8$

$x - 9,2 = 0 \implies x_3 = 9,2$

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: -0,7; 2,8; 9,2. Точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -0,7)$, $(-0,7; 2,8)$, $(2,8; 9,2)$ и $(9,2; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(9,2; +\infty)$, взяв, например, $x=10$:

$(10 + 0,7)(10 - 2,8)(10 - 9,2) = (10,7) \cdot (7,2) \cdot (0,8)$. Все множители положительны, значит, произведение положительно. Ставим знак «+».

Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах будут чередоваться: «+», «-», «+», «-» (справа налево).

$(-\infty; -0,7)$: знак «-»
$(-0,7; 2,8)$: знак «+»
$(2,8; 9,2)$: знак «-»
$(9,2; +\infty)$: знак «+»

По условию задачи, произведение должно быть отрицательным ($< 0$). Выбираем интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty; -0,7) \cup (2,8; 9,2)$.

329. Решите неравенство:

а) $(x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0;$

б) $x(x - 5)(x + 6) > 0;$

в) $(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0.$

а) $(x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$(x + 9)(x - 2)(x - 15) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x + 9 = 0 \implies x_1 = -9$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x - 15 = 0 \implies x_3 = 15$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 2)$, $(2; 15)$, $(15; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 20$:

$(20 + 9)(20 - 2)(20 - 15) = (+)(+)(+) > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем:

• Интервал $(15; +\infty)$: знак $+$
• Интервал $(2; 15)$: знак $-$
• Интервал $(-9; 2)$: знак $+$
• Интервал $(-\infty; -9)$: знак $-$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$), то есть те, где стоит знак минус. Это интервалы $(-\infty; -9)$ и $(2; 15)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (2; 15)$.

б) $x(x - 5)(x + 6) > 0$

Решаем неравенство методом интервалов. Находим корни, приравнивая левую часть к нулю:

$x(x - 5)(x + 6) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

$x + 6 = 0 \implies x_3 = -6$

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 0, 5$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 5)$, $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$, взяв, например, $x = 10$:

$10(10 - 5)(10 + 6) = (+)(+)(+) > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются:

• Интервал $(5; +\infty)$: знак $+$
• Интервал $(0; 5)$: знак $-$
• Интервал $(-6; 0)$: знак $+$
• Интервал $(-\infty; -6)$: знак $-$

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($> 0$), то есть те, где стоит знак плюс. Это интервалы $(-6; 0)$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (5; +\infty)$.

в) $(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0$

Используем метод интервалов. Находим корни уравнения:

$(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) = 0$

Корни:

$x_1 = 1, x_2 = 4, x_3 = 8, x_4 = 16$.

Наносим корни на числовую ось. Они образуют пять интервалов: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$, $(4; 8)$, $(8; 16)$, $(16; +\infty)$.

Определяем знак в крайнем правом интервале $(16; +\infty)$, например, при $x = 20$:

$(20 - 1)(20 - 4)(20 - 8)(20 - 16) = (+)(+)(+)(+) > 0$.

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются:

• Интервал $(16; +\infty)$: знак $+$
• Интервал $(8; 16)$: знак $-$
• Интервал $(4; 8)$: знак $+$
• Интервал $(1; 4)$: знак $-$
• Интервал $(-\infty; 1)$: знак $+$

Мы ищем решения, где выражение меньше нуля ($< 0$), то есть интервалы со знаком минус. Это интервалы $(1; 4)$ и $(8; 16)$.

Ответ: $x \in (1; 4) \cup (8; 16)$.

330. Найдите множество решений неравенства:

а) $5(x - 13)(x + 24) < 0;$

б) $-(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \ge 0;$

в) $(x + 12)(3 - x) > 0;$

г) $(6 + x)(3x - 1) \le 0.$

а) Для решения неравенства $5(x - 13)(x + 24) < 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $5(x - 13)(x + 24) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Так как $5 \neq 0$, то либо $x - 13 = 0$, либо $x + 24 = 0$. Отсюда получаем корни: $x_1 = 13$ и $x_2 = -24$. Нанесем эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое (<), точки будут выколотыми (не входящими в решение).

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -24)$, $(-24; 13)$ и $(13; +\infty)$. Определим знак выражения $5(x - 13)(x + 24)$ на каждом интервале, подставив любое значение из него.

• При $x > 13$ (например, $x=14$): $5(14 - 13)(14 + 24) = 5 \cdot 1 \cdot 38 > 0$ (знак "+").
• При $-24 < x < 13$ (например, $x=0$): $5(0 - 13)(0 + 24) = 5 \cdot (-13) \cdot 24 < 0$ (знак "-").
• При $x < -24$ (например, $x=-25$): $5(-25 - 13)(-25 + 24) = 5 \cdot (-38) \cdot (-1) > 0$ (знак "+").

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком "-". Это интервал $(-24; 13)$.
Ответ: $x \in (-24; 13)$.

б) Решим неравенство $-(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \geq 0$. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \leq 0$. Найдем корни уравнения $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) = 0$. Корни: $x_1 = -\frac{1}{7}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$. Сравним корни: $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7}$. Нанесем точки на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки будут закрашенными.

Определим знак выражения $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3})$ на интервалах $(-\infty; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{7}]$ и $[-\frac{1}{7}; +\infty)$.

• При $x > -\frac{1}{7}$ (например, $x=0$): $(0 + \frac{1}{7})(0 + \frac{1}{3}) > 0$ (знак "+").
• При $-\frac{1}{3} < x < -\frac{1}{7}$ (например, $x=-0.2$): $(-0.2 + \frac{1}{7})(-0.2 + \frac{1}{3}) < 0$ (знак "-").
• При $x < -\frac{1}{3}$ (например, $x=-1$): $(-1 + \frac{1}{7})(-1 + \frac{1}{3}) > 0$ (знак "+").

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{7}]$.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; -\frac{1}{7}]$.

в) Решим неравенство $(x + 12)(3 - x) > 0$. Для удобства приведем множитель $(3 - x)$ к стандартному виду $(x - a)$. Для этого вынесем -1 за скобку: $(x + 12) \cdot (-1) \cdot (x - 3) > 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $(x + 12)(x - 3) < 0$. Корни уравнения $(x + 12)(x - 3) = 0$ равны $x_1 = -12$ и $x_2 = 3$. Нанесем эти выколотые точки на числовую ось.

Определим знак выражения $(x + 12)(x - 3)$ на интервалах.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4 + 12)(4 - 3) > 0$ (знак "+").
• При $-12 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0 + 12)(0 - 3) < 0$ (знак "-").
• При $x < -12$ (например, $x=-13$): $(-13 + 12)(-13 - 3) > 0$ (знак "+").

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля, то есть $(-12; 3)$.
Ответ: $x \in (-12; 3)$.

г) Решим неравенство $(6 + x)(3x - 1) \leq 0$. Найдем корни уравнения $(x + 6)(3x - 1) = 0$. $x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$. $3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{3}$. Нанесем эти точки на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки будут закрашенными.

Определим знак выражения $(x + 6)(3x - 1)$ на интервалах.

• При $x > \frac{1}{3}$ (например, $x=1$): $(1 + 6)(3 \cdot 1 - 1) > 0$ (знак "+").
• При $-6 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x=0$): $(0 + 6)(3 \cdot 0 - 1) < 0$ (знак "-").
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $(-7 + 6)(3 \cdot (-7) - 1) > 0$ (знак "+").

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-6; \frac{1}{3}]$.
Ответ: $x \in [-6; \frac{1}{3}]$.